零化理想与极小多项式

求值映射的核是一个理想

把在 T 处的求值重新看作环同态 ev_T: F[x] -> End(V)，f |-> f(T)。它的核恰好是零化多项式的集合。环同态的核总是一个理想：它对加法封闭，且若 f 零化 T，则对任意 g，gf 也零化 T，因为 (gf)(T) = g(T) f(T) = g(T) 0 = 0。

F[x] 是主理想整环：每个理想都由单个多项式生成，可通过欧几里得除法找到。零化理想的首一生成元就是极小多项式 m_T。所以「f 零化 T」恰好等价于「m_T 整除 f」。第一篇的唯一性与第二篇的整除性，如今合为一句话。

极小多项式与特征值共享根

关键定理：m_T 与 p_T 拥有完全相同的根（仅重数不同）。特别地，m_T 的根恰好是 T 的特征值。这正是极小多项式与特征值的内容。

1. 若 lambda 是特征值、v 是特征向量，则 m_T(T) v = m_T(lambda) v（逐幂应用：T^k v = lambda^k v）。但 m_T(T) = 0，故 m_T(lambda) v = 0，而 v != 0 迫使 m_T(lambda) = 0。每个特征值都是 m_T 的根。
2. 反之，若 m_T(lambda) = 0，分解 m_T(x) = (x - lambda) g(x)。则 0 = m_T(T) = (T - lambda I) g(T)。若 T - lambda I 可逆，则 g(T) = 0 会使 g 成为更小的零化多项式，与最小性矛盾。所以 T - lambda I 奇异：lambda 是特征值。

计算 m_T 并读出幂零指数

由于 m_T 整除 p_T 且根相同，m_T 由与 p_T 相同的不可约因子构成，每个的幂次至多等于它在 p_T 中的重数。在代数闭域上求 m_T：分解 p_T(x) = prod (x - lambda_i)^{a_i}，然后对每个 lambda_i 找出使 (T - lambda_i I)^{e_i} 在对应广义特征空间上作用为零的最小幂 e_i。则 m_T = prod (x - lambda_i)^{e_i}。

N = [0, 1, 0;
     0, 0, 1;
     0, 0, 0]      # a nilpotent Jordan block, eigenvalue 0

p_N(x) = x^3              (char poly, all eigenvalues 0)

N^1 = [0,1,0; 0,0,1; 0,0,0]  != 0
N^2 = [0,0,1; 0,0,0; 0,0,0]  != 0
N^3 = [0,0,0; 0,0,0; 0,0,0]  == 0   <- first zero power

m_N(x) = x^3.   Index of nilpotency = 3 = degree of m_N.