凯莱-哈密顿定理：算子满足自身的方程

陈述定理与一个诱人的错误证明

凯莱-哈密顿定理说：每个算子都零化它自己的特征多项式。若 p_T(x) = det(xI - T)，则 p_T(T) = 0。一句话：算子满足它自己的特征方程。

借助伴随矩阵的诚实证明

在元素为 x 的多项式的矩阵环中工作。设 B(x) = adj(xI - A)，即 xI - A 的伴随矩阵（古典伴随）。伴随矩阵的基本恒等式给出 B(x) (xI - A) = det(xI - A) I = p(x) I。现在 B(x) 的元素都是次数至多 n-1 的多项式，故可写 B(x) = B_{n-1} x^{n-1} + ... + B_1 x + B_0，其中 B_i 为常数矩阵。

1. 把 B(x)(xI - A) = p(x) I 两边都展开成以矩阵为系数、以 x 为变量的多项式，其中 p(x) = x^n + c_{n-1} x^{n-1} + ... + c_0。
2. 比较两边每个幂次 x^k 的系数。这给出 n+1 个矩阵方程，把 B_i 与 A 和 c_k 联系起来——纯代数，不把矩阵代入 x。
3. 把第 k 个方程左乘 A^k，再把它们全部相加。B_i 项会望远镜式地完全抵消。
4. 左边幸存下来的恰好是 A^n + c_{n-1} A^{n-1} + ... + c_0 I = p(A)；右边坍缩为 0。于是 p(A) = 0。

A = [1, 2; 3, 4]
p(x) = det(xI - A) = x^2 - (trace)x + det
     = x^2 - 5x - 2

Check p(A) = A^2 - 5A - 2I:
  A^2  = [ 7, 10; 15, 22]
 -5A   = [-5,-10;-15,-20]
 -2I   = [-2,  0;  0, -2]
  ----------------------------
  sum  = [ 0,  0;  0,  0]   <- p(A) = 0, as promised.

收益：从特征多项式得到逆

由于 p_T 零化 T，极小多项式 m_T 整除 p_T——极小多项式是次数最小的零化多项式，而任何其他零化多项式（包括 p_T）都是它的多项式倍数。这一条整除事实统领第三到五篇的全部内容。

凯莱-哈密顿还顺手给你一个廉价的逆。写 p_T(x) = x^n + ... + c_1 x + c_0。由 p_T(T) = 0，把常数项孤立出来：T (T^{n-1} + ... + c_1 I) = -c_0 I。若 c_0 != 0（等价于 0 不是特征值，故 T 可逆），则 T^{-1} = (-1/c_0)(T^{n-1} + c_{n-1} T^{n-2} + ... + c_1 I)——一个表示成 T 的多项式的逆。