谱：当特征值化为连续统

为何特征值不够用

在第一卷中，lambda 是 A 的特征值，恰当 A - lambda I 不可逆之时——而在有限维中这与拥有非零特征向量是一回事，因为奇异与不可逆相重合。在无穷维中，这两个概念分道扬镳。一个算子可以不可逆，*却*根本没有任何特征向量。

于是我们拓宽定义。有界算子 T 的谱是所有使 (T - lambda I) 没有有界逆的复数 lambda 之集。特征值仍在其中，但谱可以包含根本不是特征值的值。谱——而非特征值列表——才是正确的无穷维不变量。

落入谱的三种方式

T - lambda I 为何会缺少有界逆？恰有三种失败模式，它们把谱分裂为点谱、连续谱与剩余谱。这一分类不过是对可逆性*如何*破裂的诚实记账：映射是非单射，还是单射却不满射；若其值域漏掉整个空间，它至少是否稠密？

点谱：T - lambda I 非单射。于是存在非零 x 使 T x = lambda x——lambda 是真正带特征向量的特征值，正是有限维的情形。
连续谱：T - lambda I 单射且值域稠密，但其逆无界。没有特征向量，却存在“近似特征向量”，满足 ||(T - lambda I) x_n|| -> 0 而 ||x_n|| = 1。
剩余谱：T - lambda I 单射，但其值域甚至不稠密。这是纯粹无穷维的可能，并由伴随系住：lambda 落在 T 的剩余谱中，当且仅当 conj(lambda) 是 T* 的特征值。

The right shift S on ell^2 -- all three flavors on display
   S(x_1, x_2, ...) = (0, x_1, x_2, ...),   ||S|| = 1

spectrum(S) = closed unit disk { |lambda| <= 1 }.

  POINT spectrum:  EMPTY.
     S x = lambda x forces x = 0  (no eigenvectors at all!).

  RESIDUAL spectrum:  { |lambda| < 1 }  (the open disk).
     range of (S - lambda I) is not dense; and indeed
     conj(lambda) IS an eigenvalue of S* = left shift.

  CONTINUOUS spectrum:  { |lambda| = 1 }  (the boundary circle).
     injective, dense range, but unbounded inverse.

Contrast S* (left shift): every |lambda| < 1 is a true
  EIGENVALUE -- eigenvector (1, lambda, lambda^2, ...) in ell^2.
So S and S* have the SAME spectrum, sorted into different bins.

移位算子同时实现了空点谱、剩余谱圆盘与连续谱边界圆。

回报：驱动量子世界的谱理论

对紧自伴算子而言，狂野尽数坍缩：由谱定理，其谱不过是它的特征值再加上极限点 0——连续谱与剩余谱无一幸存。对一般的自伴算子，谱永远是*实*的，而正是这单一事实，构成了物理可观测量取实值的数学缘由。

这正是整个专题的终点。量子力学建立在希尔伯特空间上的自伴算子之上：位置、动量与能量都是无界算子，其谱就是一次测量所能返回的值之集。离散能级是点谱；自由粒子的动量连续统是连续谱。你方才学到的分类，字面上就是可能测量结果的一览表。