从有限标准正交基到无穷系
回想第一卷几何中最干净的事实：若 {q_1, ..., q_n} 是一组标准正交基，则每个向量都可写为 v = sum <v, q_k> q_k，其坐标由内积读出。系数 <v, q_k> 就是向各轴的投影。我们希望在有无穷多个 q_k 时仍能得到同一公式。
希尔伯特空间中的一个标准正交系 {e_k} 是一个（可能无穷的）集合，满足 i != j 时 <e_i, e_j> = 0 且 ||e_k|| = 1。数 c_k = <x, e_k> 称为 x 关于该系的傅里叶系数——正是坐标的直接推广。问题在于：无穷和 sum c_k e_k 是否收敛，又是否能重构出 x。
贝塞尔、帕塞瓦尔，以及“完全”意味着什么
两条不等式统御一切。贝塞尔不等式指出，对*任意*标准正交系都有 sum |c_k|^2 <= ||x||^2：投影出的能量绝不超过总能量。当且仅当对每个 x 都取等号时，该系才是完全标准正交系——这就是帕塞瓦尔恒等式 sum |c_k|^2 = ||x||^2——意味着没有能量损失，系中也无所缺漏。
The classic complete orthonormal system in L^2[-pi, pi]:
e_n(t) = (1/sqrt(2*pi)) * exp(i n t), n = ..., -1, 0, 1, ...
orthonormal: <e_m, e_n> = (1/2pi) integral exp(i(m-n)t) dt
= 1 if m = n, 0 otherwise.
Fourier coefficients of f: c_n = <f, e_n>
Fourier series (reconstruction): f = sum_n c_n e_n
Parseval (no energy lost): integral |f|^2 = sum_n |c_n|^2
Why it is COMPLETE, not just orthonormal:
the ONLY function orthogonal to every e_n is f = 0.
(No nonzero direction is missed -> the system spans, in the
closure sense, all of L^2.)投影：永远存在的最佳逼近
希尔伯特几何中最有用的单条定理是投影定理：若 M 是一个*闭*子空间，则每个 x 在 M 中都有唯一的最近点 Px，且误差 x - Px 与整个 M 正交。这正是第一卷的最小二乘思想，如今在无穷维中得到保证——前提是 M 闭，而这正是完备性发挥作用之处。
- 取一组张成闭子空间 M 的标准正交系 {e_1, ..., e_N}（或用格拉姆-施密特构造一组）。
- 对 k = 1..N 计算傅里叶系数 c_k = <x, e_k>。
- 投影即 Px = sum_{k=1}^N c_k e_k——在该空间范数意义下 x 在 M 中的最佳逼近。
- 残差 x - Px 与每个 e_k 正交，且 ||x||^2 = ||Px||^2 + ||x - Px||^2（勾股定理依然成立）。
把傅里叶级数截断到前 N 项，*恰好*就是这种向 e_1, ..., e_N 张成空间的投影——这正是为什么傅里叶部分和是 L^2 意义下最佳的 N 项三角逼近。无穷维的图景把有限维几何中最实用的工具完整无缺地交还给了我们。