第一同构定理：收官回报

同构：相差重命名即相同

两个空间之间的可逆线性映射是一个同构——一部把 V 翻译为 W 的完美词典，毫无遗失也毫无杜撰。当这样的映射存在时，我们记 V ≅ W，称两空间同构。对有限维空间，判据极简：V ≅ W 当且仅当 dim V = dim W。维数是唯一的不变量。

现在回忆商构造。给定 V 的子空间 U，商空间 V/U 把任意两个相差 U 中元素的向量粘合在一起，将 U 坍缩为一点。我们可以把映射压到商上：若 T 杀死 U，则 V/U 上存在一个良定义的诱导映射。这两个观念——同构与商——即将富有成效地相撞。

定理本身

这是整个专题的核心。对任意线性映射 T: V -> W，第一同构定理断言 V / ker T ≅ im T。用语言说：若先把 T 杀死的一切都坍缩掉，剩下的就是像的完美副本。一旦你不再区分 T 本就无法分辨的输入，映射立刻变得可逆。

从 T: V -> W 出发。它的核是含糊之处——T 无法分开的不同输入。
构造 V / ker T，它把任意两个相差一个核向量的输入视为相等。
在商上定义 T-bar，令 T-bar(v + ker T) = T(v)；这是良定义的，因为核的含糊已被商去。
T-bar 现在是单射（已无含糊）且满射到 im T，于是是同构 V / ker T ≅ im T。

而秩-零化度免费掉出。对两边取维数：dim(V / ker T) = dim(im T)。由于 dim(V / ker T) = dim V - dim(ker T)，整理即得 dim(ker T) + dim(im T) = dim V——第二篇指南的抽象秩-零化度，如今成了一行推论，而非一条独立定理。

一个分解实例

T: R^3 -> R^2,  T(x, y, z) = (x + y,  y + z)

Kernel:  x + y = 0 and y + z = 0  ->  (t, -t, t)
  ker T = span( (1, -1, 1) )      dim 1

Image:  T(e1)=(1,0), T(e2)=(1,1), T(e3)=(0,1)
  these span all of R^2            dim 2  (so T is onto)

First isomorphism theorem:
  R^3 / ker T  ≅  im T = R^2
  dim:  3 - 1   =   2            consistent

So collapsing the line span((1,-1,1)) inside R^3
leaves a 2-dim quotient that is a perfect copy of R^2.

对核取商；剩下的是像的精确副本。

矩阵原是一道影子

回望这条弧线。我们以把矩阵贬为映射的坐标快照开篇；找到了所有映射的空间，从核与像上读出单射与满射，认识了投影与幂零，并看到换基不过是共轭。第一同构定理正是回报所在：它表明核与像是同一条结构真理的两半，由一个任何选基都无法扰动的同构粘合。

从这里，道路分叉进入结构定理。同样的核-像思维，施加于算子的各次幂，便给出广义特征子空间、若尔当形与有理标准形——每一个都是选取一组让算子显露真形的基的方式。矩阵始终是影子；你如今知道如何阅读投下它的那个对象。