投影与幂零：有记忆的映射

投影：做两次毫无变化

投影是满足 P^2 = P 的算子 P: V -> V。一旦投影完成，再投影也无济于事——输出已经定型。满足 X^2 = X 的算子称为幂等的，而幂等正是投影的代数指纹。这推广了第一卷的正交投影，但这里 P 不必正交。

回报是：每个投影都把 V 分裂成直和 V = im P ⊕ ker P。像恰是被 P 固定的向量（P 固定它落到的一切，因为 P(Pv) = Pv），核是被 P 抹去的部分。每个 v 唯一地分解为 v = Pv + (v - Pv)，第一块在像中，第二块在核中。

P on R^2,  P = [1, 1;
               0, 0]

Check idempotent: P^2 = [1,1; 0,0] * [1,1; 0,0]
                      = [1,1; 0,0] = P   OK

Image  = { (a, 0) }      (the x-axis)   -> P fixes these
Kernel = { (t, -t) }     (the line y=-x) -> P kills these

Split:  (3, 2) = P(3,2) + (3,2 - P(3,2))
              = (5, 0) + (-2, 2)
         image piece + kernel piece, sum back to (3,2)

沿直线 y = -x 向 x 轴的斜（非正交）投影。

幂零：终究一切归零

在另一极端坐着幂零算子：存在某个幂 k 使 N^k = 0 的 N。施加足够多次，它就湮灭每个向量。最干净的模型是把一组基沿一条链向下推、并把最后一级甩出端点的移位。

N on R^3 (the shift):  N(e1)=0,  N(e2)=e1,  N(e3)=e2

Matrix:  N = [0, 1, 0;
              0, 0, 1;
              0, 0, 0]

Iterate:
  N^1 sends e3 -> e2 -> e1 -> 0
  N^2 = [0,0,1; 0,0,0; 0,0,0]   (still nonzero)
  N^3 = 0                       (everything dies)

So k = 3 is the nilpotency index. The kernels grow:
  ker N   = span(e1)
  ker N^2 = span(e1, e2)
  ker N^3 = all of R^3

基本幂零算子：一条单一的移位链，其核每次攀升一级。

幂零算子是你稍后将遇到的若尔当形的原材料：每个算子在减去其特征值后，于每个广义特征子空间上都呈幂零状。还要注意，N 限制到 ker N^2 上仍是幂零的——幂零性在限制到不变子空间时幸存，这一事实推动了整个结构理论。

为何这两类是模板

投影与幂零处于算子行为的两个极点。投影尽可能稳定——它永远重复自身。幂零尽可能短暂——它自我毁灭。大多数算子都由这两种风味的混合构成，这正是现在掌握它们、将来分解一般算子为不变片段时大有回报的原因。