由映射诞生的两个子空间
给定 T: V -> W，两个集合组织起一切。核是被 T 送到零的全体：ker T = { v in V : T(v) = 0 }。像是 T 实际产生的全体：im T = { T(v) : v in V }。我们无坐标地定义二者，直接来自映射——无需矩阵。
二者都是子空间，这值得亲手验证一次。若 T(u) = 0 且 T(v) = 0，则 T(u + v) = T(u) + T(v) = 0，故 ker T 对加法封闭；缩放同理。像也封闭，因为 T(u) + T(v) = T(u + v) 本身就是一个输出。在第一卷里，你把它们认作矩阵的零空间与列空间——同样的对象，如今从映射上读出。
单射、满射，一眼读出
核用一个干净的判据探测单射：T 是单射（一一对应）当且仅当 ker T = {0}。证明很短。若 ker T = {0} 且 T(u) = T(v)，则 T(u - v) = 0，故 u - v 落在核中，迫使 u = v。反之，一个非零的核向量与 0 都映到 0，破坏单射。
像同样直接地探测满射：T 是满射（映上）当且仅当 im T = W。既单又满的映射是可逆映射——它有双边逆。但要当心：在维数不等的空间之间，你可能只有单边逆，而存在的那一边恰好告诉你单射/满射哪一个成立。
- 满足 L∘T = id_V 的左逆 L 恰好在 T 为单射时存在（它在输入端撤销 T）。
- 满足 T∘R = id_W 的右逆 R 恰好在 T 为满射时存在（它命中每个输出）。
- 当两者都成立时，左逆与右逆重合，T 真正可逆。
秩-零化度，抽象版本
核衡量 T 压塌了多少；像衡量幸存了多少。V 的总维数在二者之间恰好劈开。这就是抽象形式的秩-零化度：dim(ker T) + dim(im T) = dim V。没有坐标，没有行化简——这是关于映射的陈述。
T: R^3 -> R^3, T(x, y, z) = (x + y, x + y, z)
Kernel: need x + y = 0 and z = 0
ker T = { (t, -t, 0) } -> dimension 1
Image: outputs look like (a, a, b)
im T = { (a, a, b) } -> dimension 2
Check rank-nullity:
dim(ker T) + dim(im T) = 1 + 2 = 3 = dim R^3 OK