映射一直都在
在第一卷中，你认识了线性变换 T: V -> W，它是一条尊重加法与缩放的规则：T(au + bv) = aT(u) + bT(v)。随后你用它的变换矩阵做计算。本专题隐藏的功课是：这两个对象并不相同。T 活在空间 V 与 W 上，从不提及坐标；只有当你为两边各选一组基时，矩阵才出现。
为何要费心区分它们？因为同一个映射有无穷多个矩阵，每种选基对应一个，而它们描述的几何完全相同。若想知道关于 T 的真正事实——它做什么、它做不到什么——就应当用无坐标的方式表述，让矩阵成为方便工具，而非定义本身。
矩阵作为坐标快照
下面是把无坐标映射变成矩阵的配方。固定 V 的一组基 B = (b1, ..., bn) 与 W 的一组基 C = (c1, ..., cm)。要构造 T 相对于这两组基的矩阵，就把 V 的每个基向量送过 T，并用 C-坐标写出结果。把这些坐标列并排堆起来，就是矩阵。
Map T: R^2 -> R^2, T(x, y) = (x + 2y, 3y)
Standard basis B = C = ( (1,0), (0,1) )
Feed each basis vector through T:
T(1,0) = (1, 0) -> column [1; 0]
T(0,1) = (2, 3) -> column [2; 3]
Matrix relative to standard basis:
A = [1, 2;
0, 3]
Now switch V's basis to B' = ( (1,1), (1,-1) ):
T(1, 1) = (3, 3) = 3*(1,1) + 0*(1,-1) -> [3; 0]
T(1,-1) = (-1,-3) = -2*(1,1) + 1*(1,-1) -> [-2; 1]
Same map T, NEW matrix (B' in, standard out):
A' = [ 3, -2;
0, 1]请注意，上面两个矩阵显然是不同的数字阵列，却编码了平面上完全相同的变换。这正是直接研究映射的全部动机：在每次换基中都幸存的事实才是结构性的，其余的只是记账。
所有映射构成一个空间
现在跨一大步。把从 V 到 W 的每一个线性映射都装进一个袋子。你可以把两个映射相加——(S + T)(v) = S(v) + T(v)——也可以缩放一个映射——(aT)(v) = a*T(v)。两种结果仍然是线性的。于是这个集合本身满足向量空间公理：它就是线性映射空间，记作 L(V, W) 或 Hom(V, W)。
它的维数令人愉快地简单：dim L(V, W) = (dim V)(dim W)。原因就是矩阵配方——一旦固定基，一个映射恰好是一个 m×n 的自由数字阵列，而 m×n 矩阵空间的维数是 mn。所以抽象的映射空间与熟悉的矩阵空间，逐基地看，大小相同。