盖尔什戈林圆盘：免费定位
盖尔什戈林圆盘定理无需求解特征多项式即可定位每个特征值。对每一行 i，画一个以对角元 a_ii 为圆心、半径 R_i = sum |a_ij|（对 j != i，即非对角的绝对行和）的圆盘。每个特征值都落在这 n 个圆盘的并集中。
A = [ 5.0, 0.3, -0.2;
0.1, 8.0, 0.4;
-0.2, 0.1, 1.0 ]
Disc 1: center 5.0, radius |0.3|+|-0.2| = 0.5 -> [4.5, 5.5]
Disc 2: center 8.0, radius |0.1|+|0.4| = 0.5 -> [7.5, 8.5]
Disc 3: center 1.0, radius |-0.2|+|0.1| = 0.3 -> [0.7, 1.3]
The discs are disjoint, so each holds exactly ONE eigenvalue.
Conclusion before any factorization: lambda's are near 5, 8, 1.外尔定理：对称扰动是温和的
对对称（埃尔米特）矩阵，谱定理保证特征值为实数，且它们的移动不超过扰动本身。外尔定理说：若 A 与 A+E 对称且特征值已排序，则对每个 k，|lambda_k(A+E) - lambda_k(A)| <= ||E||_2。特征值的条件数恰为 1——完美良态。
其同伴是柯西交错定理：从对称 A 中删去一行及对应一列，得到较小矩阵 B，其特征值与 A 的交错，lambda_k(A) >= lambda_k(B) >= lambda_(k+1)(A)。同样的交错结构支配着奇异值扰动：|sigma_k(A+E) - sigma_k(A)| <= ||E||_2。
鲍尔-法伊克：非正规性的代价
一般（非对称）矩阵呢？鲍尔-法伊克定理对可对角化的 A = V D V^-1 给出答案：A+E 的每个特征值 mu 满足 min（对 lambda(A)）of |mu - lambda| <= kappa(V) * ||E||_2，其中 kappa(V) = ||V|| * ||V^-1|| 是特征向量矩阵的条件数。