函数逐块作用
若 A = P J P^-1，则对任何合理的函数 f 有 f(A) = P f(J) P^-1，又因 J 分块对角，f(J) 只是把 f 分别作用到每个块上。于是整个问题坍缩为：单个约当块的 f 是什么？这正是具体化的函数演算。
约当块 J_k(lambda) 的函数是一个上三角 Toeplitz 矩阵，由 f 在 lambda 处的导数构成：对角线是 f(lambda)，上次对角线是 f'(lambda)，再上一条是 f''(lambda)/2!，向上第 j 条对角线是 f^(j)(lambda)/j!。你只需单个幂零 N = J - lambda*I 与一次泰勒展开——N^k = 0 自动截断级数。
For a 3x3 block J = lambda*I + N (N the superdiagonal shift, N^3 = 0):
f(J) = f(lambda)*I + f'(lambda)*N + (f''(lambda)/2!)*N^2
= [ f(lambda) f'(lambda) f''(lambda)/2 ;
0 f(lambda) f'(lambda) ;
0 0 f(lambda) ]
The finite Taylor series stops because N^3 = 0 — no convergence worries.幂与矩阵指数
对矩阵幂取 f(x) = x^m：则 f^(j)(lambda)/j! = C(m, j) lambda^(m-j)，于是每块的元是二项式系数乘以 lambda 的幂——立即以闭式给出 A^m = P J^m P^-1，无需反复相乘。A^m 的渐近性一目了然：|lambda| < 1 的块衰减，|lambda| > 1 的块爆炸，而 |lambda| = 1 的大块多项式式增长。
对矩阵指数取 f(x) = e^(tx)。每块给出 e^(t lambda) 乘以一个 t 的多项式三角：e^(tJ_k(lambda)) = e^(t lambda) * (I + tN + (t^2/2!)N^2 + ... + (t^(k-1)/(k-1)!)N^(k-1))。这正是线性常微分方程组 x'(t) = A x(t) 的精确解算子：x(t) = e^(At) x(0)。块的大小解释了为何重特征值会在解中产生 t、t^2、…… 的因子。
ODE x' = A x, A = P J P^-1. Solution: x(t) = P e^(tJ) P^-1 x(0).
For J_2(lambda) = [lambda 1; 0 lambda]:
e^(tJ) = e^(t*lambda) * [1 t;
0 1]
The '1' in the block is exactly what produces the t * e^(t*lambda)
resonant term familiar from repeated-root ODEs.平方根、对数与全局图景
同一台机器给出矩阵平方根：取 f(x) = sqrt(x) 逐块作用，对任何可逆块都成立（在块大小满足条件时甚至对奇异块也成立）。对数、正弦、预解式——任何在特征值处解析的函数——都遵循同一条导数三角配方。一个标准形，所有矩阵函数。