构建标准形并证明其唯一

组装 A = P J P^-1

每个复 n×n 矩阵都相似于一个约当标准形 J：存在可逆 P 使 A = P J P^-1。P 的列是一组约当基——把约当链逐个特征值地、从底到顶写出。把它读作一次基变换：在 P 的列所张的世界里，A 就是干净的分块对角 J。

Worked example.  A = [5 1 0 0;
                      0 5 0 0;
                      0 0 5 0;
                      0 0 0 3]    (already nearly there to expose the recipe)

Eigenvalue 5: algebraic mult 3.  N = A - 5I has rank 1 on that block group
   -> d_1 = 3 - 1 = 2 blocks ; ranks give partition (2, 1)
Eigenvalue 3: a 1-by-1 block.

      J = [5 1 0 0;
           0 5 0 0;
           0 0 5 0;
           0 0 0 3]

Jordan basis (columns of P), chains bottom-to-top:
   for 5:  chain {u1, u2} with (A-5I)u2 = u1, (A-5I)u1 = 0 ; lone eigvec w
   for 3:  eigenvector z
   P = [ u1 | u2 | w | z ]    and    A = P J P^-1

lambda=5 的块大小分拆 (2,1) 与 lambda=3 的单块组装成 J；各链填入 P 的列。

完整配方

有了前几篇指南，这套构造便是机械的。特征值来自特征多项式，块的大小来自秩数据，基则来自各链。下面是你对任何复矩阵都可运行的端到端流程。

由特征多项式求出特征值；每个特征值贡献一个广义特征空间，成为一组约当块。
对每个 lambda，计算 (A - lambda I) 各幂的秩，应用秩跃公式得到块大小分拆。
为每个块构建一条约当链（从顶端广义特征向量降到特征向量）；把所有链收集为 P 的列。
把 J 写成分块对角，每条链一个 J_k(lambda)，顺序与 P 一致。验证 A P = P J。

为何它本质上唯一

约当基 P 远非唯一——你可以缩放并重组各链。但 J 本身在块的顺序下是唯一的。原因正是上一指南：特征值与秩跃分拆是相似不变量，它们完全确定块的重集。这就是约当形的唯一性。