块的大小是一个分拆
对一个代数重数为 a 的特征值 lambda，约当块的大小之和为 a。把这些大小按递减排列就得到 a 的块大小分拆。例如 a = 5 可能是 (3, 1, 1)——一个 3×3 块和两个 1×1 块——或 (2, 2, 1)，等等。确定这个分拆就完全确定了该特征值对应的标准形。
秩跃公式
令 N = A - lambda I，定义 r_j = rank(N^j)，其中 r_0 = n。第 j 步核所增加的维数是 d_j = r_(j-1) - r_j。这些 d_j 就是Weyr 特征；它们构成非增序列 d_1 >= d_2 >= d_3 >= ...。秩跃（Weyr）公式据此计数：恰好大小为 j 的约当块数目是 d_j - d_(j+1)。
Counting blocks of eigenvalue lambda (size n total): N = A - lambda*I r_0 = n r_j = rank(N^j) for j = 1, 2, ... until r_j stops shrinking d_j = r_(j-1) - r_j (Weyr characteristic; how many chains reach length >= j) #(blocks of size exactly j) = d_j - d_(j+1) Sanity checks: sum_j d_j = algebraic multiplicity a (= dim of gen. eigenspace) d_1 = geometric multiplicity (= total number of blocks) largest j with d_j>0= size of largest block (= exponent in minimal poly)
一个计算实例
设 lambda 的代数重数为 5，我们测得 rank(N^0..N^3) = 5, 2, 1, 1（仅在广义特征空间内计数，其中 r_0 = a = 5）。则 d_1 = 3, d_2 = 1, d_3 = 0。恰好大小为 1 的块：d_1 - d_2 = 2。恰好大小为 2 的块：d_2 - d_3 = 1。分拆是 (2, 1, 1)。lambda 的标准形是一个 2×2 块和两个 1×1 块。