约当链与一个块的解剖

约当块长什么样

约当块 J_k(lambda) 是一个 k×k 矩阵，对角线上是 lambda，上次对角线（紧贴对角线上方的位置）上是 1，其余处处为 0。1×1 的块就是 [lambda]——一个普通特征值。块越大，基向量之间的“耦合”越强。

J_1(5) = [5]

J_3(5) = [5 1 0;
          0 5 1;
          0 0 5]

Write J_3(5) = 5*I + N  where  N = [0 1 0;
                                   0 0 1;
                                   0 0 0]
N is nilpotent: N shifts basis vectors down the chain,
N e3 = e2,  N e2 = e1,  N e1 = 0,  and N^3 = 0.

构建一条约当链

长度为 k 的约当链是一列广义特征向量 v_k, v_(k-1), ..., v_1，其中每一个在 (A - lambda I) 下映到前一个：(A - lambda I)v_j = v_(j-1)，而最底端的 v_1 是真正的特征向量，满足 (A - lambda I)v_1 = 0。最顶端的向量 v_k（秩最高者）通过反复作用 (A - lambda I) 生成整条链。

1. 选取 ker(A - lambda I)^k 中的顶向量 v_k，使其不在 ker(A - lambda I)^(k-1) 中——一个真正的秩 k 广义特征向量。
2. 令 v_(k-1) = (A - lambda I)v_k，再令 v_(k-2) = (A - lambda I)v_(k-1)，持续作用该映射。
3. 链在 v_1 = (A - lambda I)v_2 处停止，它是一个特征向量。这 k 个向量 v_1, ..., v_k 自动线性无关。
4. 将链从底到顶作为列排列。在这组基上，算子的作用恰为约当块 J_k(lambda)。

幂零骨架

减去 lambda 后，余下的 N = A - lambda I 限制在一个广义特征空间上，它是幂零的：某个幂 N^m = 0。单个特征值的约当块全部理论，与幂零算子的约当形完全相同。最长链的长度等于幂零指数——使 N^m = 0 的最小 m。

把所有特征值的所有链汇集成一组有序基，就得到约当基。在该基下矩阵是分块对角的，每条链对应一个约当块——这个分块对角矩阵就是我们将在下一指南中完整组装的约当标准形。