第一卷留下的缺口
在第一卷中你学到：一个算子可对角化当且仅当它有特征基——一组完整的特征向量基。这恰好发生在：对每个特征值，几何重数（特征空间的维数）等于代数重数（它作为特征多项式根的重数）。你遇到的多数矩阵都很乖。
但考虑 A = [2, 1; 0, 2]。它唯一的特征值是 lambda = 2，代数重数为 2，然而 (A - 2I) = [0, 1; 0, 0] 的零空间是一维的，由 e1 张成。只有一个特征向量方向，而非两个。不存在特征基；A 是亏损的。第一卷的机器在此熄火。
扩大核：(A - lambda I) 的幂
特征向量满足 (A - lambda I)v = 0。秩为 k 的广义特征向量满足较弱的条件 (A - lambda I)^k v = 0 而 (A - lambda I)^(k-1) v != 0。特征向量恰是秩 1 的情形。固定 lambda 下它们全体构成广义特征空间。
这些核嵌套且增长：ker(A - lambda I) 包含于 ker(A - lambda I)^2 包含于 ker(A - lambda I)^3，依此类推。每一次取幂只能扩大零空间，直到稳定。这条零空间链在某个幂处停止增长；当它停止时，稳定的核就是整个广义特征空间——其维数等于代数重数。这正是填补第一卷缺口的关键承诺。
A = [2, 1;
0, 2] lambda = 2
(A - 2I) = [0, 1; 0, 0] ker has dim 1 -> { e1 }
(A - 2I)^2 = [0, 0; 0, 0] ker has dim 2 -> all of R^2
rank-1 (true eigenvector): v1 = e1, (A-2I) e1 = 0
rank-2 (generalized) : v2 = e2, (A-2I) e2 = e1 != 0
(A-2I)^2 e2 = 0为何在 C 上总是奏效
在复数域上特征多项式总能分解为线性因子，故代数重数之和为 n。对所有不同特征值的广义特征空间求和，给出整个空间 C^n 的直和分解。这其实是伪装的准素分解：即使不存在特征基，广义特征基也总是存在。