算子的伴随

通过配对定义 T*

给定 V 上的线性算子 T，固定一个向量 w，考虑 v -> <Tv, w>。这是关于 v 的线性泛函，故里斯产生唯一向量——记为 T*w。伴随算子 T* 由唯一恒等式 <Tv, w> = <v, T*w>（对一切 v, w）定义。它正是让你把 T 从内积的一侧滑到另一侧的算子。

计算它：共轭转置

在标准正交基下，抽象定义变得具体：T* 的矩阵是 T 的矩阵的共轭转置，记作 A* = conj(A)^T（也写作 A^H）。在 R 上它就是转置 A^T；在 C 上则要对每个元素既转置又共轭。这个共轭，正是第一篇指南中埃尔米特内积向我们索取的代价。

A = [ 1+i,   2 ]
    [   3,  4-i ]

Conjugate transpose A* = conj(A)^T:

step 1  transpose:        [ 1+i,   3  ]
                          [   2,  4-i ]

step 2  conjugate each:   A* = [ 1-i,   3  ]
                               [   2,  4+i ]

Sanity check the defining identity on e1, e2 (standard inner product):
  <A e1, e2> = (A)_{21} = 3        (entry row 2, col 1)
  <e1, A* e2> = conj( (A*)_{12} ) = conj(3) = 3   -> they match.

在 C 上伴随是转置加共轭；在 R 上则是普通转置。

你必须内化的代数

伴随恒等式把它变成一套利落的演算。带星映射颠倒乘积顺序、对标量共轭线性，同时又是一个对合：

(S + T)*  = S* + T*
(c T)*    = conj(c) T*        (conjugation appears over C)
(S T)*    = T* S*             (order reverses, like the transpose)
(T*)*     = T                 (an involution: starring twice undoes itself)
(T^-1)*   = (T*)^-1           (when T is invertible)

伴随始终遵守的五条恒等式。

一颗结构性宝石把伴随与上一篇的几何相连：ker(T*) = (im T)-perp，伴随的核是像的正交补。这正是第一卷“行空间与零空间正交”的概念升级——四个基本子空间，如今以算子对算子的方式陈述，无需选取任何坐标。