主不等式
公理最重要的单一推论就是柯西-施瓦茨不等式：对一切 u, v，|<u, v>| <= ||u|| ||v||，等号当且仅当 u 与 v 平行时成立。没有它，“夹角”一词在抽象空间中将毫无意义，因为我们无法保证 <u, v> / (||u|| ||v||) 落在 [-1, 1] 内。
其证明是一行小技巧，值得随身携带：取使 ||u - t v|| 最小的标量 t，再展开 0 <= <u - t v, u - t v> 并读出该界。使之最小的 t = <u, v> / <v, v>，正是 u 在 v 上最佳投影的系数——几何与代数在同一步中相遇。
由范数复原内积
范数是否记得内积？记得——而且存在一个判定“某范数是否来自内积”的干净检验：平行四边形法则，||u + v||^2 + ||u - v||^2 = 2 ||u||^2 + 2 ||v||^2。平行四边形两对角线平方之和等于各边平方之和。一个范数当且仅当它来自某内积时满足此式。
当该法则成立时，极化恒等式可显式重建内积。在 R 上：<u, v> = ( ||u + v||^2 - ||u - v||^2 ) / 4。在 C 上会多出一个虚部以复原相位。于是范数与内积携带完全相同的信息——知道所有长度等价于知道所有夹角。
Is the max-norm ||x||_inf = max(|x1|, |x2|) from an inner product? Test the parallelogram law on u = (1, 0), v = (0, 1): ||u + v||_inf = max(1,1) = 1 -> squared 1 ||u - v||_inf = max(1,1) = 1 -> squared 1 LHS = 1 + 1 = 2 RHS = 2*1 + 2*1 = 4 2 != 4 -> law FAILS -> no inner product induces the max-norm. Now the Euclidean norm on the same u, v: LHS = (sqrt2)^2 + (sqrt2)^2 = 4 = RHS -> law holds.
最佳逼近与贝塞尔
把一个向量在标准正交集 e_1, ..., e_k 上展开。系数 c_i = <v, e_i> 是它的傅里叶系数，而贝塞尔不等式断言 sum |c_i|^2 <= ||v||^2。从几何上看，向 e_i 的张成空间投影只能缩短 v；差额正是到该子空间的距离平方。
当标准正交集是完整的基时，贝塞尔不等式变为等式——帕塞瓦尔恒等式，||v||^2 = sum |c_i|^2。这是傅里叶分析中能量守恒的抽象内核：一个信号的总能量等于其各频率分量能量之和。