准素分解与 Jordan-Chevalley

把碎片粘成整个空间

准素分解定理是上一篇的收获。在特征多项式完全分解的域上（在 C 上总成立），空间分裂为 V = G(lambda_1, T) (+) G(lambda_2, T) (+) …… (+) G(lambda_r, T)，每个相异特征值对应一个广义特征空间，每个都是 T-不变的。

这正是本轨道一开始就想要的不变直和分解：V 被拆成若干不变块，而在每块上 T - lambda_i*I 是幂零的。第 2 篇那个棘手的障碍——补的缺失——被绕开了，因为这些特定的补总是存在。这些块或许不是特征直线，但它们是货真价实的不变直和项。

A = [ 3  1  0  0 ;
      0  3  0  0 ;
      0  0  3  0 ;
      0  0  0  7 ]      eigenvalues: 3 (mult 3),  7 (mult 1)

G(3, A) = span{ e1, e2, e3 }   (dim 3 = algebraic mult of 3)
G(7, A) = span{ e4 }           (dim 1 = algebraic mult of 7)

Primary decomposition:  R^4 = G(3,A) (+) G(7,A).
On G(3,A):  A - 3I is nilpotent.
On G(7,A):  A - 7I is zero (e4 is a genuine eigenvector).

每个特征值贡献一个广义特征空间，其维数与重数相符。

分裂算子：半单加幂零

空间的分解诱导出算子的分解。定义 S 在每块上作用为乘以 lambda_i，令 N = T - S。那么 S 是半单算子（在 C 上可对角化），N 是幂零的，而关键在于 S 与 N 可交换。这就是 Jordan-Chevalley 分解：T = S + N，且唯一。

执行准素分解，找出每个 G(lambda_i, T) 及其特征值 lambda_i。
在块 G(lambda_i, T) 上定义 S = lambda_i * I；这就是半单部分。
令 N = T - S；在每块上它是 T - lambda_i*I，在那里是幂零的。
验证 S N = N S——这一可交换性使分裂唯一且有用。

它带给你什么

对角化如今显露为 N = 0 的特殊情形——算子纯粹是半单的。在 C 上其余每个算子都是半单加一个真正的幂零，而这条幂零尾巴正是我们在第 2 篇里初遇的剪切障碍。