广义特征向量与 Fitting 分解

放宽特征向量方程

特征向量满足 (T - lambda*I)v = 0。广义特征向量只需对某个正幂次 k 满足 (T - lambda*I)^k v = 0。也就是说，它不是被 (T - lambda*I) 一击消灭，而是经过几次才消灭。对固定 lambda，所有这样的 v 构成广义特征空间，记作 G(lambda, T)。

T = [ 5  1  0 ;
      0  5  0 ;
      0  0  5 ]   (only eigenvalue lambda = 5)

N = T - 5*I = [ 0  1  0 ;
               0  0  0 ;
               0  0  0 ]

  N e1 = 0          -> e1 is an ordinary eigenvector
  N e3 = 0          -> e3 is an ordinary eigenvector
  N e2 = e1 (not 0) -> e2 is NOT an eigenvector ...
  N^2 e2 = N e1 = 0 -> ... but e2 IS a generalized eigenvector (k=2)

So G(5, T) = span{e1, e2, e3} = all of R^3,
even though there are only 2 independent ordinary eigenvectors.

Fitting：分裂为核部分与像部分

取任意单个算子 N（想象 N = T - lambda*I）。两条链 ker N ⊆ ker N^2 ⊆ …… 与 im N ⊇ im N^2 ⊇ …… 都在同一幂次 m 处稳定。于是 Fitting 分解断言 V = ker N^m (+) im N^m，且两个直和项都是 N-不变的。

在第一个直和项 ker N^m 上，算子 N 是幂零的（某个幂为零）。在第二个直和项 im N^m 上，算子 N 是可逆的。因此 Fitting 干净地把 T 表现得像 lambda 加幂零移位的那部分，与 T - lambda*I 无害的那部分分开。这正是下一篇更大定理的单特征值内核。

注意与第 2 篇的联系：广义特征空间 G(lambda, T) 恰好就是 ker N^m，即 N = T - lambda*I 的 Fitting 核项。它是 T - lambda*I 在其上幂零的最大不变子空间，并且总是包含由 lambda 的特征向量生成的循环子空间。

为什么这对标准形重要

广义特征空间绝不会像普通特征空间那样不够用：G(lambda, T) 的维数总等于 lambda 的代数重数。正是这一保证使得整个空间可以由广义特征空间重建——这是下一篇的主题——也正是为什么当对角形不存在时 Jordan 形依然存在。