循环子空间与补的失效

从一个种子向量生长子空间

取任意非零向量 v，观察它在 T 下的轨道：v, Tv, T^2 v, T^3 v, ……这条轨道的张成就是由 v 生成的循环子空间。由其构造可知它是不变的——对任一轨道元素施加 T 只会得到下一个，而它已在张成中。它是包含 v 的最小不变子空间。

在有限维空间里，轨道不可能永远增长。在某一步，T^k v 成为先前向量的线性组合。第一个这样的 k 就是循环子空间的维数，而它所产生的关系式正是算子在 v 上的极小多项式。

T = [ 2  1 ;
      0  2 ]   acting on R^2,  seed v = e1 = (1,0)

  T v   = (2,0) = 2*v          -> already a multiple of v
So span{v} alone is invariant: a 1-dim cyclic subspace.

Try instead the seed w = e2 = (0,1):
  w       = (0,1)
  T w     = (1,2)             -> NOT a multiple of w
  T^2 w   = (4,4) = 4*w + ... -> a combination of w and T w
Cyclic subspace of w = span{ w, Tw } = all of R^2 (dimension 2).

无法分裂的剪切

回到剪切 T = [2, 1; 0, 2]。它唯一的特征值是 2，而在缩放意义下唯一的特征向量是 e1。因此唯一的 1 维不变子空间是直线 U = span{e1}。现在问：是否存在不变补——另一条不变直线 W，使得 R^2 = U (+) W？

1. 任何不变直线 W 必由一个特征向量张成（1 维不变子空间就是特征直线）。
2. 但唯一的特征直线就是 U 本身，因此不存在第二条不变直线。
3. 因此 U 没有不变补：R^2 无法分裂为两条 T-不变直线。

这一障碍在告诉我们什么

对角化希望 V 是若干特征直线的直和，每条都带有不变补。剪切表明，即便不变直线存在，补也可能消失。我们有两条出路：把“好向量”的标准从严格特征向量放宽，或者退而求其次接受三角而非对角。下一篇走第一条路；最后一篇走第二条路。