从特征向量到不变子空间

第一卷已经给你的

回忆第一卷：算子 T 的特征向量 v 满足 Tv = lambda*v。由 v 张成的直线——集合 {c*v : c 为标量}——有一个不起眼却关键的性质：T 绝不会把这条直线上的任何向量送出这条直线。施加 T 后你仍停留在同一条直线上。这种稳定性正是本轨道一切内容的种子。

对角化是第一卷的高潮，但它其实只是幸运的情形——整个空间恰好分解为若干这种直线的直和。然而许多算子根本没有特征基。因此我们保留“稳定性”这个思想，而舍弃“一维”这个限制。

推广特征直线的定义

当 T(U) 包含于 U 时，子空间 U 是 T 的不变子空间：U 的每个向量都被映回 U 内部。整个空间 V 和零子空间 {0} 总是不变的——这是平凡的。特征直线就是 1 维不变子空间。有趣的问题是介于其间的是什么。

Let T act on R^3 by the matrix (in the standard basis)

  T = [ 2  1  0 ;
        0  2  0 ;
        0  0  5 ]

Check a candidate subspace U = span{ e1, e2 } (the xy-plane).
  T(e1) = 2*e1            -> in U
  T(e2) = 1*e1 + 2*e2     -> in U  (a combination of e1, e2)
So T(U) is contained in U: U is INVARIANT.

But e2 is NOT an eigenvector (T(e2) is not a multiple of e2).
The 2-dim invariant subspace exists even though only ONE
independent eigenvector lives inside it.

为什么不变性是正确的视角

如果 U 不变，那么 T 在 U 上限制为一个良定义的算子——记作 T|U。你可以孤立地研究这个更小的算子。把 V 分解为若干不变片，正是把一个困难算子拆成更小、可理解者的策略。所有不变子空间的全体构成不变子空间格，这一结构记录了 T 可被切分的每一种方式。

当一个不变的 U 与另一个不变子空间 W 配对，使得 V = U (+) W 时，我们称 W 为 U 的不变补。这种配对正是梦寐以求的：它让我们能够完全分开地在 U 上与 W 上研究 T。残酷的真相——下一篇指南会探讨——是这个补未必存在，而这一障碍正是某些算子拒绝对角化的根源。