矩阵指数：从代数到群

定义矩阵的 exp

标量恒等式 e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... 只用到加法、乘法和幂——这些矩阵都有。于是定义矩阵指数 exp(A) = I + A + A^2/2! + A^3/3! + ...。这个级数对每个方阵 A 都收敛，所以 exp(A) 总有定义。它是李理论中最重要的一个映射。

一个旋转的演算

最干净的例子：对反对称矩阵 J = [0, -1; 1, 0] 取指数。幂次循环：J^2 = -I，J^3 = -J，J^4 = I。把级数按偶次幂和奇次幂分组，恰好重现余弦与正弦级数，给出角度为 t 的旋转。一个平直、简单的生成元变成了 SO(2) 中弯曲的成员。

J = [0, -1; 1, 0]
exp(t*J) = I + tJ + (t^2/2!)J^2 + (t^3/3!)J^3 + ...
         = (1 - t^2/2! + ...) I  +  (t - t^3/3! + ...) J
         =  cos(t) I            +   sin(t) J
         = [cos t, -sin t; sin t, cos t]    = R(t)   <- a rotation!

# check: exp(t*J) is in SO(2), and t controls the angle smoothly.
# det( exp(tJ) ) = e^{ trace(tJ) } = e^{0} = 1   (always)

使它成为桥梁的两条定律

两个事实让 exp 成为从平直空间通往弯曲群的桥。其一，det(exp A) = e^{trace(A)}，故若 迹(A) = 0，则 det(exp A) = 1，exp A 落入 SL(n)。其二，exp(A) 总可逆，其逆为 exp(-A)。于是无迹矩阵（一个简单的线性条件）映到 SL(n)（一个弯曲的群）。平直的定义域是李代数；弯曲的目标是李群。

返程：矩阵对数

矩阵对数在单位元附近反转 exp：log(I + X) = X - X^2/2 + X^3/3 - ...。对靠近 I 的群元素 g，log(g) 落回李代数，恢复出生成元。exp 与 log 一起，让你在弯曲的群与其单位元处的平直切空间之间自由翻译——而平直空间里的计算容易得多。

让参数 t 连续变动，t |-> exp(tA) 描出一个单参数子群——一条穿过单位元、且尊重群律的光滑曲线。下一篇就以这条曲线为理论的核心。