保持长度的对称：O(n)、SO(n) 与 U(n)

保持内积

第一卷中，正交矩阵满足 Q^T Q = I，列向量标准正交。其真正含义是：Q 保持[[inner-product|内积]]，从而保持长度和角度。事实上 <Qu, Qv> = (Qu)^T (Qv) = u^T Q^T Q v = u^T v = <u, v>。保持内积的变换是固定原点的刚体运动——这正是我们希望对称所应是的样子。

正交群 O(n)

把所有这样的矩阵收集起来，就得到正交群 O(n) = { Q : Q^T Q = I }。按我们的配方它是 GL(n) 的子群：若 Q^T Q = I 且 R^T R = I，则 (QR)^T(QR) = R^T Q^T Q R = R^T R = I，而 Q^-1 = Q^T 也正交。由 Q^T Q = I 得 det(Q)^2 = 1，故 det(Q) = +1 或 -1：O(n) 分裂为旋转与反射。

# A 2D rotation by angle t and a reflection both live in O(2)
R(t) = [cos t, -sin t; sin t, cos t]
   R^T R = I,   det R = cos^2 t + sin^2 t = +1   (rotation, in SO(2))

F = [1, 0; 0, -1]
   F^T F = I,   det F = -1                       (reflection, NOT in SO(2))

# product of two reflections is a rotation:
F1 = [1,0; 0,-1],  F2 = [cos a, sin a; sin a, -cos a]
F2 * F1 = R(a)        det(+1)(-1)... = (-1)(-1) = +1

O(2) 内 det = +1 的旋转与 det = -1 的反射。

SO(n)：连通的旋转群

加上条件 det = +1，就只保留旋转：特殊正交群 SO(n) = O(n) 与 SL(n) 的交。SO(n) 是 O(n) 中与单位元连通的那部分——你能从 I 连续旋转到任意旋转，但不跳跃就永远到不了反射。SO(2) 是一圈旋转；SO(3) 是所有空间旋转组成的群，是球面的对称群。

走向复数：U(n)

在复数域上，正确的内积是 <u, v> = u* v，其中星号表示共轭转置。保持它的矩阵满足 U* U = I，组成酉群 U(n)。酉之于复空间，正如正交之于实空间：它保持复范数与长度。由 U* U = I 得 |det U| = 1，故 det U 是单位复数 e^{i*theta}，落在圆周上——比实情形那个仅仅 +/-1 要丰富。