从可逆矩阵到群：GL(n) 与 SL(n)

你早已知道的，换个名字

在第一卷你学到，有些矩阵有逆矩阵，有些没有，而一个 n 阶矩阵可逆当且仅当它的行列式非零。第二卷问一个更深的问题：抛开任何单个矩阵——可逆矩阵全体的结构是什么？答案是一个群，而这一视角的转变打开了整个连续对称的理论。

群是一个集合配上一种运算，满足：(1) 封闭——两个成员相结合还得到成员，(2) 结合律，(3) 有单位元，(4) 每个成员在集合内都有逆元。对矩阵来说，运算就是矩阵乘法。验证这四条公理，你会发现这个集合一直就是一个群。

一般线性群 GL(n)

一般线性群 GL(n) 是所有 n 阶可逆实矩阵在乘法下的集合。它封闭，因为 det(AB) = det(A)det(B)，所以行列式非零的矩阵之积仍有非零行列式。单位元是 I，每个成员的逆元是它的矩阵逆。与加法不同，当 n >= 2 时这个群是非交换的——AB 和 BA 通常不相等。

# GL(2): two invertible matrices, both with det != 0
A = [2, 1; 1, 1]   det(A) = 2*1 - 1*1 = 1   (invertible)
B = [1, 1; 0, 1]   det(B) = 1*1 - 1*0 = 1   (invertible)

A*B = [2, 3; 1, 2]   det = 4 - 3 = 1     <- closed: still in GL(2)
B*A = [3, 2; 1, 1]   det = 3 - 2 = 1     <- but B*A != A*B (non-abelian)

A^-1 = [1, -1; -1, 2]   A * A^-1 = [1, 0; 0, 1] = I

GL(2) 内部的封闭性与非交换性。

用一个条件刻画 SL(n)

大多数有趣的群都是从 GL(n) 中用一个额外条件切出的子群。特殊线性群 SL(n) 只保留行列式恰好为 1 的矩阵。为什么这是群？因为 det(AB) = det(A)det(B) = 1*1 = 1 让你留在群内，而 det(A^-1) = 1/det(A) = 1 也是如此。几何上 SL(n) 是保体积、保定向变换组成的群。

为什么这些群是连续的

GL(n) 不是一块有限的对称棋盘——你可以微调矩阵的元素、保持行列式非零，从而把一个矩阵平滑地滑向另一个。一个同时也是光滑曲面、其乘法和求逆都连续的群，就是李群。代数（群律）与几何（光滑流形）的这种结合，正是后续全部内容的主题。

数维数能把这一点变得具体。GL(n) 生活在 n 阶矩阵中，因此有 n^2 个自由参数。SL(n) 施加了一个方程 det = 1，把维数降到 n^2 - 1。对称群成了可以度量的形状，本主线后续就在度量它们。