对称性该换来好处
实践中出现的许多矩阵——协方差矩阵、最小二乘的法方程 A^T A、物理中的刚度矩阵——都是对称且正定的（SPD）：A = A^T，且对每个非零 x 都有 x^T A x > 0。在这样的矩阵上跑通用 LU 是浪费，因为 L 与 U 除一个对角缩放外互为镜像。分解应当体现这种对称性，而非忽视它。
Cholesky 分解正是这样做的：它把 A 写成 A = LL^T，其中 L 为下三角且对角元*为正*。一个三角因子加上它的转置就承载了全部信息——无需单独的 U，也无需选主元，因为正定性保证主元始终为正。它是整个稠密线性代数中最高效、最稳定的分解，只要你能证明 A 是 SPD，就该选用它。
逐列计算它
Cholesky 有一个干净的递归配方。把 LL^T 的元素与 A 匹配：（1,1）元强制 L_11 = sqrt(A_11)；L 第一列的其余部分是 A 的第一列除以 L_11；然后从剩余块中减去该列的外积，再重复。每个对角步都取一次平方根——若根号下某个值变为非正，则 A *不是*正定的。这个失败本身就是一项特性。
A = [ 4 12 -16 ; L = [ 2 0 0 ;
12 37 -43 ; 6 1 0 ;
-16 -43 98 ] -8 5 3 ]
# L_11 = sqrt(4) = 2
# L_21 = 12/2 = 6 , L_31 = -16/2 = -8
# L_22 = sqrt(37 - 6^2) = sqrt(1) = 1
# L_32 = (-43 - (-8)(6)) / 1 = 5
# L_33 = sqrt(98 - (-8)^2 - 5^2) = sqrt(9) = 3
# check: L @ L^T == A在对角元为正的约束下，Cholesky 是唯一的——恰好存在一个这样的 L。对比 LU，那里你得按惯例把 L 的对角线固定为 1；而这里 A 的正定性免费完成了这个固定。这是由结构*赢得*的唯一性，而非人为规定的。
LDL^T：免开方的 Cholesky
平方根略微昂贵，且对*非*正定的对称矩阵（不定情形，在优化中很常见）无定义。LDL^T 分解同时绕开这两个问题：把 A 写成 A = LDL^T，其中 L 是单位下三角、D 是对角矩阵。D 中的符号现在记录不定性，而不会让算法崩溃——按Sylvester 惯性定律，D 上正、负、零元的个数是 A 的一个不变量。