判据失效之时：亏损算子
当某个特征值的几何重数严格小于其代数重数时，判据失效，算子是亏损的。特征向量根本不够填满一组基。最小的例子是第一篇里的错切 [4, 1; 0, 4]：二重特征值配一维特征子空间，恰好缺一个方向。
亏损不是你计算中的失误——它是一种真实的结构性质。它正是后续课程为之而生所要处理的精确障碍：不变子空间、若尔当形与矩阵指数，全都从这一道缺口生长出来。
弥补缺口：广义特征子空间
修补之道是扩大每个特征子空间。lambda 的广义特征子空间是 (A - lambda I)^k 的零空间（k 取得足够大）——这些向量不是被 (A - lambda I) 一次作用所消灭，而是被它的某个幂所消灭。关键在于：广义特征子空间的维数等于代数重数，因此即便普通特征子空间凑不齐，广义特征子空间也总能求和得到整个空间。
回报：幂、动力学与 PageRank
这就是这一切值得的原因。当 A 可对角化时，计算矩阵幂从 O(k) 次矩阵乘法坍缩为一次对角幂：A^k = P D^k P^-1，而 D^k 只需把每个特征值取 k 次方。这一个恒等式就解出线性递归（斐波那契的闭式）、演化离散动力系统 x_{k+1} = A x_k，并计算稳态。
Why the largest eigenvalue wins (power iteration intuition):
write any start vector in the eigenbasis: x = c_1 v_1 + ... + c_n v_n
apply A repeatedly:
A^k x = c_1 lambda_1^k v_1 + ... + c_n lambda_n^k v_k
if |lambda_1| > |lambda_2| >= ... (lambda_1 dominant), factor it out:
A^k x = lambda_1^k ( c_1 v_1 + c_2 (lambda_2/lambda_1)^k v_2 + ... )
\__ ratios (lambda_j/lambda_1)^k -> 0 as k grows __/
=> direction of A^k x -> the dominant eigenvector v_1.
This IS the engine of PageRank: the steady-state web-rank
is the dominant eigenvector of the link matrix.这套渐近行为正是主特征值在起作用，其收敛速度由比值 |lambda_2 / lambda_1|——谱隙——决定。要在不解特征多项式的情况下预测行为，像盖尔什戈林圆盘这样的特征值估计能把谱圈定在直接从矩阵元素读出的区域内。从一个算子的谱出发，你如今能得到它的长期动力学、稳定性，以及对整个网络的排序——这正是整个专题一路攀登所朝向的终点。