谱投影与同时对角化

按特征值分解恒等

可对角化的 A 把空间分解为其特征子空间的直和。对每个特征值 lambda 都有一个谱投影 P_lambda——一个沿所有其他特征子空间投到 E_lambda 上的投影。这些投影算子是 A 的谱骨架：它们幂等，不同特征值之间相乘为零，且求和等于恒等。

If A is diagonalizable with distinct eigenvalues lambda_1, ..., lambda_k:

  P_i^2 = P_i              (each is a projection)
  P_i P_j = 0  for i != j  (orthogonal idempotents)
  P_1 + ... + P_k = I      (resolution of the identity)

Spectral decomposition of A:
  A = lambda_1 P_1 + ... + lambda_k P_k

And then ANY power / polynomial is read off the same projectors:
  A^m   = lambda_1^m P_1 + ... + lambda_k^m P_k
  f(A)  = f(lambda_1) P_1 + ... + f(lambda_k) P_k

谱分解：A 是其特征子空间投影算子的加权和。

这是 A = P D P^-1 在算子层面的升级：不再是一次换基，而是 k 个独立部件，每个携带一个特征值。A 的函数——幂、指数、逆——化为逐特征值地把函数作用于标量。

具体地构造投影算子

你不必去猜谱投影——它们直接从 A = P D P^-1 中读出。把 P 的各列按特征值分组；投影算子 P_lambda 保留属于 lambda 的特征子空间的坐标，将其余置零，再换回标准基表示。等价地，P_lambda = P E_lambda P^-1，其中 E_lambda 是对角指示矩阵，在 lambda 的槽位上为 1，其余为 0。

A = [3, 1; 0, 2]      eigenvalues 3 and 2 (distinct -> diagonalizable)

  eigenvector for 3:  v1 = (1, 0)
  eigenvector for 2:  v2 = (1, -1)
  P = [1, 1; 0, -1]     P^-1 = [1, 1; 0, -1]   (P is its own inverse here)

  D = diag(3, 2)

  P_3 = P diag(1,0) P^-1 = [1, 1; 0, 0]    (onto E_3 along E_2)
  P_2 = P diag(0,1) P^-1 = [0, -1; 0, 1]   (onto E_2 along E_3)

check:  P_3 + P_2 = I,  P_3 P_2 = 0,  3 P_3 + 2 P_2 = A   OK

直接从一个 2x2 的特征向量读出它的两个谱投影算子。

两个算子，一组基

现在追问：两个可对角化算子 A 与 B 能否被同一个 P 对角化？这就是同时对角化。干净的定理：两个可对角化算子可同时对角化，当且仅当它们可交换，即 AB = BA。可交换正是共享特征基在代数上的影子。

一个方向的直觉：若 B 与 A 可交换，则 B 把 A 的每个特征子空间映入其自身（A 的特征子空间在 B 下不变）。把 B 限制到每个特征子空间，在那里将它对角化，再把各局部特征基缝合起来——所得结果同时把两者对角化。