对角化意味着特征基
当存在一组完全由特征向量构成的全空间基——特征基——时，算子可对角化。在该基下 A 表现为各自独立的缩放，于是化为以特征值为对角元的对角矩阵。具体地 A = P D P^-1，其中 P 的各列是特征向量，D 是对角矩阵。整个问题就是：你能否凑齐 n 个独立特征向量？
因此可对角化是算子的一种性质，而非你执行的某次计算——特征基要么存在，要么不存在，与你算得多巧妙无关。把问题重述为一个计数问题：每个特征值贡献其特征子空间的维数，而你需要这些维数加起来等于 n。本篇余下部分将把这一计数变得精确。
跨特征值的独立性
一条关键引理：属于不同特征值的特征向量自动线性无关。因此不同 lambda 的特征子空间只在零向量处相交——它们的和是直和。这意味着你只需把每个特征子空间的一组基拼接起来，就能搭出全局候选基；任何来自某个空间的特征向量都不可能是其他空间向量的隐藏组合。
干净陈述的判据
现在给出完整的对角化判据：在代数闭域上，算子可对角化当且仅当每个特征值的几何重数等于代数重数。等价地，各特征子空间的维数之和为 n——你有足够的特征向量填满一组基。互异特征值的捷径，不过是每个重数都为 1 的情形。
- 通过分解特征多项式，找出所有特征值及其代数重数。
- 对每个 lambda 计算 dim E_lambda；若对每个特征值都等于其代数重数，则 A 可对角化。
- 拼接各特征子空间的基构成 P，把特征值放入 D，验证 A = P D P^-1——这使幂 A^k = P D^k P^-1 变得轻而易举。