谱是什么
有限维算子的谱，就是它全部特征值的集合，每个都是特征多项式的根。（在无限维中定义会扩展，你将在算子专题中遇到；这里，谱 = 特征值集合。）把特征值作为整体而非逐个对待，正是让你一眼总览算子的关键。
把谱想成算子的指纹：它在换基下保持不变，因为相似矩阵 A 与 P^-1 A P 共享同一个特征多项式，从而拥有相同的特征值。两个在纸面上看似截然不同的矩阵，可能携带完全相同的谱——而接下来的两节将展示，这一枚指纹已经钉死了 A 的多少行为。
迹与行列式免费得到
A 的两个不变量编码在谱中。把每个特征值按其代数重数计入，则迹是特征值之和，行列式是它们之积。因此迹与行列式不过是谱的首个与末个对称函数——把韦达公式用于特征多项式而已。
A = [2, -1; 1, 4]
characteristic poly:
det(A - x I) = (2 - x)(4 - x) - (-1)(1)
= x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2
spectrum = {3, 3} (lambda = 3, algebraic mult 2)
check via Vieta:
trace(A) = 2 + 4 = 6 = 3 + 3 = sum of eigenvalues OK
det(A) = 2*4 - (-1)*1 = 9 = 3*3 = product of eigenvalues OK谱真的存在吗？实数对复数
一个实矩阵可能完全没有实特征值——90 度旋转 [0, -1; 1, 0] 的特征多项式是 x^2 + 1，没有实根。补救之道是在 C 上工作：根据代数基本定理，每个 n 次多项式都可分解，于是在 C 上一个 n x n 矩阵总恰有 n 个特征值（计重数）。实谱可能为空；复谱绝不会。
有一个数概括谱的大小：谱半径，即谱中最大的 |lambda|。它支配长期行为——A^k 保持有界，当且仅当谱半径不超过 1（在等于处需谨慎）——并将在第五篇的幂迭代故事中作为收敛速率重现。