从特征值到特征理论：两种重数

第一卷止步之处

在第一卷中，你把特征值 lambda 当作特征多项式 det(A - lambda I) 的根来求，再解 (A - lambda I)v = 0 得到特征向量。这套方法可行，但它掩盖了一处微妙之处：单个 lambda 可能拥有许多个独立特征向量，也可能出奇地少。特征理论研究的正是究竟有多少个，以及这个数字告诉你算子的什么性质。

暂且把 lambda 的根结构放一边，最干净的追踪对象不是特征值本身，而是它所固定（至多差一个缩放）的整个向量空间。那个空间就是特征子空间，把特征向量打包成一个子空间，正是把临时计算变成一套理论的关键一步。

作为核的特征子空间

固定一个特征值 lambda。特征子空间 E_lambda 恰好是 (A - lambda I) 的零空间：其中每个非零向量都是特征向量，再纳入零向量，它就成为一个真正的子空间。因此特征子空间继承了你对核的全部认识——维数、基、秩-零化度定理。

A = [4, 1; 0, 4]            # 2x2, lambda = 4 is the only eigenvalue

characteristic poly: det(A - x I) = (4 - x)^2
  -> lambda = 4 appears with multiplicity 2 as a ROOT

eigenspace E_4 = null(A - 4I) = null([0, 1; 0, 0])
  (A - 4I) v = 0  =>  v = (t, 0)
  basis: { (1, 0) }      -> dim E_4 = 1

So: root appears twice, but only 1 independent eigenvector.

一个 2x2 例子：特征值是二重根，但特征子空间却是一维的。

代数重数与几何重数

每个 lambda 上附着两个不同的计数。代数重数是 (x - lambda) 整除特征多项式的次数——即它作为根的重数。几何重数是 dim E_lambda——你实际得到的独立特征向量个数。上面的例子代数重数为 2，几何重数为 1。

计算特征方程 det(A - x I) = 0 并分解；每个 (x - lambda) 上的指数就是该特征值的代数重数。
对每个 lambda，将 (A - lambda I) 做行化简并数自由变量；这个数就是 dim E_lambda，即几何重数。
对每个特征值比较两者。任何差距（几何 < 代数）都预示对角化的麻烦，第三篇会把它变成精确的判据。