把测量向后拉
取 线性变换 T: V -> W。再抓一个目标上的测量 g ∈ W*。你可以构造源上的测量：先作用 T，再作用 g，复合 g∘T 就是 V 上的泛函。规则 g -> g∘T 就是 T 的 线性映射转置，记作 T*: W* -> V*。关键在于它与 T 方向相反。
为什么这就是“那个”转置
为 V、W 选基，为 V*、W* 选对偶基。把 T 写成 矩阵 A。那么 T* 在对偶基下的矩阵恰好是 A^T——就是你在第一卷学过的普通 矩阵转置。于是那个神秘的“沿对角线翻折矩阵”操作，真正含义是“同一个映射，作用在测量而非向量上”。无坐标的定义解释了这套记账一直以来的真意。
Check (T*g)(v) = g(Tv) in coordinates.
T: R^2 -> R^2, A = [ 2 1 ; 0 3 ].
Take g = row [1 4] in W*.
Left: T*g = g composed with T = (row g)*(matrix A)
= [1 4] * [2 1; 0 3] = [2 13] (a row in V*)
Then (T*g)(v) for v=[5;1]: [2 13]*[5;1] = 10+13 = 23.
Right: Tv = A*[5;1] = [11; 3]. g(Tv) = [1 4]*[11;3] = 11+12 = 23.
Equal ✓. And note: T*g = [1 4]*A, i.e. the matrix of T* acting
on rows is A^T acting on columns.回报：行秩 = 列秩
转置通过 核-像对偶 联结核与零化子：ker(T*) = (im T)^0 且 im(T*) = (ker T)^0。用零化子定律数维数，得到 转置的秩 = rank(T*) = rank(T)。由于 rank(T) 是列秩、rank(T*) 对应行秩，这就证明了你在第一卷照单全收的事实：矩阵的行 秩 等于它的列秩。