零化子：从对偶一侧看子空间

子空间的零化子

设 W 是 V 的 子空间。它的 零化子（记作 W^0）是所有杀死 W 中每个向量的泛函之集合：W^0 = { f ∈ V* : 对所有 w ∈ W 有 f(w) = 0 }。它本身是一个子空间——属于 V*，而非 V。可以把它想成“所有看不见 W 的测量”。

维数定律

这条定理很干净：dim W + dim W^0 = dim V。子空间越大，能盲目零化它的泛函就越少。若 W 是 R^3 中的一条直线（维数 1），它的零化子就是泛函组成的一张平面（维数 2）。这就是 零化子对偶定理，是 秩-零化度定理 在对偶空间中的孪生兄弟。

1. 取 W 的一组基 w1, ..., wk，将其扩充为整个 V 的基 w1, ..., wk, u1, ..., um。
2. 取对偶基。对偶于诸 u 的泛函在每个 w 上为零——故它们落在 W^0 中。
3. 那 m 个泛函构成 W^0 的一组基，故 dim W^0 = m = dim V - dim W。

实例与前瞻

V = R^3.  W = span{ (1,2,0) }  (a line, dim 1).
W^0 = { rows [a b c] : a*1 + b*2 + c*0 = 0 } = { a + 2b = 0 }.

Solve: a = -2b, c free.  Basis of W^0:
   f1 = [-2  1  0]   (b=1, c=0)
   f2 = [ 0  0  1]   (b=0, c=1)

dim W^0 = 2,  dim W = 1,  sum = 3 = dim V.  ✓
Geometrically: f1=0 and f2=0 are two planes whose
intersection is exactly the original line W.

你很快会遇到两个相关事实：单个非零泛函切出一张 超平面（一个把子空间摆到一侧的 分离泛函），而零化子 W^0 自然就是商空间的 商的对偶 (V/W)*。零化子是把“V 的子空间”翻译成“V* 的子空间”的词典。