坐标其实是伪装的泛函
固定 V 的一组 基 e1, ..., en。每个向量都有唯一的 坐标向量：v = c1·e1 + ... + cn·en。现在问：“第 i 个坐标”是什么对象？把 v 送到 ci 的映射 e^i 是线性的——所以它是一个 线性泛函，是 V* 中的元素。读出一个坐标就是一次测量。
这 n 个泛函 e^1, ..., e^n 就是 对偶基。它们由一条干净的规则定死：当 i = j 时 e^i(ej) = 1，否则为 0。换句话说，第 i 次测量在第 i 个基向量上读出 1，忽略其余。上标（余向量）与下标（向量）的记账方式，正是 协变与逆变 的核心。
维数相同，却没有典范联系
由于对偶基恰有 n 个元素，V* 与 V 有相同的 维数（当 V 有限维时）。因此 V 与 V* 作为抽象空间同构。但微妙之处在于：同构 v_i -> e^i 依赖于你所选的基。换一组基，这种对应就变了。不存在自然的、与基无关的同构 V -> V*。记住这一点——它会在第 5 篇强势回归。
计算对偶基
Basis of R^2 (non-standard):
v1 = [1; 1], v2 = [1; -1]
Want covectors f1, f2 (rows) with f_i(v_j) = delta_ij.
Stack v1,v2 as columns: B = [1 1; 1 -1]
Dual basis rows are the ROWS of B^-1.
B^-1 = (1/-2) [ -1 -1; -1 1 ]
= [ 1/2 1/2 ; 1/2 -1/2 ]
So f1 = [1/2 1/2], f2 = [1/2 -1/2]
Check: f1(v1) = 1/2 + 1/2 = 1, f1(v2) = 1/2 - 1/2 = 0 ✓注意 逆矩阵 的出现：当基向量按矩阵 B 变换时，它们的对偶泛函按 B^-1（转置）变换。向量与余向量对基变换的反应方向相反——这正是物理学家区分协变与逆变指标的原因。