第一卷遗漏了什么
第一门课程研究 向量、基 以及空间之间的 线性变换。但有一种变换它通常一笔带过：吃进一个向量、吐出一个数的映射。向量空间 V 上的 线性泛函 是一个线性映射 f: V -> F，把向量送进标量域。它不会把你搬到另一个向量——它测量你。
线性意味着 f(au + bv) = a·f(u) + b·f(v)。这就是全部规则。与固定向量作 点积 是其原型：在 R^3 中，f(x) = 3x1 - x2 + 2x3 就是一个泛函。“读出第二个坐标”也是；在矩阵空间上“取迹”也是；在函数空间上“从 0 积到 1”也是。
泛函构成一个空间
把两个泛函逐点相加、对泛函作数乘——结果仍是泛函。于是 V 上所有线性泛函构成的集合本身是一个 向量空间，称为 对偶空间，记作 V*。它的“向量”就是测量。为强调对比，我们把 V* 中的元素叫做 余向量：向量是被测量的对象，余向量负责测量。
非零泛函的零位面 f = 0 是过原点的 超平面——一个比整个 V 少一维的子空间。每个泛函本质上都在问“你越过这张超平面多远，以固定步长计”。这种几何图景，正是列向量永远说不清的。
一个泛函实例
V = R^3, functional f(x) = 3*x1 - 1*x2 + 2*x3
As a row vector: f = [ 3 -1 2 ]
Apply to column: v = [ 4 ; 5 ; 1 ]
f(v) = [3 -1 2] * [4; 5; 1]
= 3*4 + (-1)*5 + 2*1
= 12 - 5 + 2 = 9
Hyperplane f = 0: 3x1 - x2 + 2x3 = 0 (a plane through origin)
Level f = 9 is the parallel plane that v sits on.注意形状：泛函写成行，向量写成列，行乘列的 矩阵乘法 把你送进 F。这种排版上的不对称并非偶然——它是 V 与 V* 属于不同类型对象的第一个提示，也是本主线的主题。