从伴随读出克拉默法则
由 A * adj(A) = det(A) I，只要 det(A) != 0，就得到显式逆 A^-1 = adj(A)/det(A)。用于 Ax = b：x = A^-1 b，其第 i 个分量化为克拉默法则：x_i = det(A_i)/det(A)，其中 A_i 是把 A 的第 i 列换成 b 所得。每个未知量都是两个行列式之比——闭式解，无需消元。
还有一个漂亮的体积证明：把 A 的第 i 列换成 b = sum x_j c_j。由多重线性，det(A_i) = sum_j x_j det(..第 i 列为 c_j..)。j != i 的每一项都有重复列而消失；只有 j = i 幸存，给出 det(A_i) = x_i det(A)。相除即可——多重线性与交替性包办了一切。
算子的行列式
线性变换 T: V -> V 有许多矩阵，每个基一个，彼此由基变换 B = P^-1 A P 相联。由乘法性，det(B) = det(P^-1) det(A) det(P) = det(A)，因为 det(P^-1) det(P) = 1。这个数与基无关，故可把算子的行列式 det(T) 定义为表示它的任意矩阵的行列式。
这使 det 成为 T 的真正不变量，与迹并列。特征值之积等于 det(T)，特征值之和等于迹——这就是det-迹恒等式，可直接从特征多项式读出，分别是其常数项与（带符号的）次高项系数。
三个著名行列式
理论给出干净的公式。节点 x_1,...,x_n 的范德蒙德行列式等于 i<j 上 (x_j - x_i) 的连乘；它非零当且仅当节点互异，这正是多项式插值有唯一解的原因。朗斯基行列式是函数及其各阶导数所成矩阵的行列式；非零的朗斯基行列式证明微分方程的解线性无关。
Vandermonde (3 nodes):
V = det[1 x1 x1^2; 1 x2 x2^2; 1 x3 x3^2]
= (x2 - x1)(x3 - x1)(x3 - x2)
zero <=> two nodes coincide <=> columns dependent
Wronskian of f, g at a point:
W = det[f g ; f' g'] = f*g' - f'*g
W != 0 somewhere => f, g linearly independent终极回报：为何顶形式存在
退一步看。我们假设归一化交替多重线性形式存在且唯一——但为何这类形式的空间恰好是一维的？结构性的答案是顶外幂。n 维 V 上交替 n-形式的空间是顶外幂 Lambda^n(V) 的对偶，而 dim Lambda^n(V) = C(n,n) = 1。一维空间至多差一个比例只有一个非零元——这就是第 2 篇的唯一性，如今被解释，而不仅是被证明。
从这一高度，整条主线豁然贯通。算子 T 在一维 Lambda^n(V) 上诱导一个映射；一维空间上的线性映射就是一个标量——而该标量恰是 det(T)。乘法性化为函子性 Lambda^n(ST) = Lambda^n(S) Lambda^n(T)。行列式不是硬塞进矩阵的巧妙公式；它是唯一的顶维体积形式，你证过的每条法则都是它的投影。