det(AB) = det(A) det(B)，几乎免费
det 的乘法性是最深刻的行列式恒等式，但唯一性使它几乎成了一行话。固定 B，定义 f(A) = det(AB)。验证 f 作为 A 各列的函数是多重线性且交替的（因为右乘 B 是线性的且保持列相等关系）。故由唯一性 f(A) = c * det(A)，其中常数 c = f(I) = det(B)。所以 det(AB) = det(A) det(B)。
两条推论立刻得出。若 A 可逆，det(A) det(A^-1) = det(I) = 1，故 det(A^-1) = 1/det(A)。且 det(A) = 0 当且仅当 A 奇异——体积坍缩当且仅当映射不可逆。第 3 篇的体积图像让两者都显得理所当然。
det(A^T) = det(A)
由莱布尼茨公式，det(A) = sum_sigma sgn(sigma) prod_j a_{sigma(j), j}。在转置中，(i,j) 元变为 a_{ji}，故 det(A^T) = sum_sigma sgn(sigma) prod_j a_{j, sigma(j)}。用 tau = sigma^-1 对每个乘积重新编号：乘积作为因子集合不变，且 sgn(sigma) = sgn(sigma^-1)。对 sigma 求和等同于对 tau 求和，故两个求和相等。因此 det(A^T) = det(A)。
这正是第 1 篇承诺的定理：我们关于列证明的一切，对行逐字成立。行运算对 det 的影响与相应列运算完全相同。
拉普拉斯展开与余子矩阵
按第 i 行中是哪个元素来归类莱布尼茨求和。含 a_ij 的项提出 a_ij，乘以固定该选择的置换之和——它至多差一个符号 (-1)^{i+j}，即删去第 i 行第 j 列所得 (n-1)x(n-1) 余子式 M_ij 的行列式。定义余子式 C_ij = (-1)^{i+j} det(M_ij)。则 det(A) = sum_j a_ij C_ij：这就是沿第 i 行的拉普拉斯展开，现在是导出的，而非钦定的。
把余子式装配成余子（伴随）矩阵：adj(A) = (C_ij)^T，即余子式阵列的转置。关键恒等式是 A * adj(A) = det(A) * I。对角元是拉普拉斯展开；非对角元是含重复行矩阵的展开，由交替法则为 0。这一恒等式为第 5 篇的逆公式与克拉默法则铺路。
3x3 cofactor expansion along row 1: det(A) = a11*C11 + a12*C12 + a13*C13 C11 = +det[a22 a23; a32 a33] C12 = -det[a21 a23; a31 a33] C13 = +det[a21 a22; a31 a32] Adjugate identity (the off-diagonal zeros are the magic): A * adj(A) = det(A) * I => if det(A) != 0: A^-1 = adj(A) / det(A)