交替即反对称
先来一条关键引理。若 det 是多重线性且交替的，则交换两列会改变符号。证明：考虑 det(.., u+v, .., u+v, ..)，它为 0（列重复）。用多重线性展开成四项；含重复列的两项消失，余下 det(.., u, .., v, ..) + det(.., v, .., u, ..) = 0。故交换取负。所以交替 ⇒ 反对称。
这一次符号翻转是一切的引擎。列的任何重排都是若干次交换的序列，每次交换把 det 乘以 -1。净因子只取决于置换的奇偶性——这正是置换的符号 sgn(sigma)：偶数次交换取 +1，奇数次取 -1。
把列在基上展开
现在导出显式公式。把每一列在标准基下写出：c_j = sum_i a_ij e_i。把全部 n 列代入 det，用多重线性把每个求和提到最前。得到对每列各选一个基下标的所有选法的巨大求和。任何重复某个基向量 e_i 的选法贡献为 0（交替）。幸存者恰是把每个 e_i 命中一次的选法——即置换。
每个幸存项是若干元素 a_{sigma(j), j} 的乘积，乘以 det(e_{sigma(1)}, ..., e_{sigma(n)})。由交换法则和 det(I) = 1，最后这个 det 等于 sgn(sigma)。汇总即得莱布尼茨公式：det(A) = 对 sigma 求和 sgn(sigma) * 连乘_j a_{sigma(j), j}。注意三条法则各用了恰好一次——多重线性用于展开，交替用于消去重复，归一化用于求 det(I)。
n = 2: permutations of (1,2) are id and the swap.
det = sgn(id)*a11*a22 + sgn(swap)*a21*a12
= (+1)*a11*a22 + (-1)*a21*a12
= a11*a22 - a12*a21 (the a*d - b*c you know)
n = 3: 6 permutations, 3 with sgn +1, 3 with sgn -1:
det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
- a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33
General: det(A) = sum_{sigma in S_n} sgn(sigma) * prod_j a_{sigma(j), j}唯一性，及其重要性
整个推导从未做选择：仅从三条法则出发，我们就被逼到莱布尼茨求和。所以至多有一个函数满足全部三条——这就是行列式的唯一性。而莱布尼茨公式显然满足它们，故存在性也成立。结论：列上恰有一个归一化的交替多重线性形式，我们称之为 det。
唯一性是一种证明技巧，不只是一个事实。要证明两个复杂表达式都等于 det，无需逐项比对——只需验证各自是多重线性、交替的，并在单位阵上取 1。我们会反复兑现这一点：几乎不用计算就能证明 det(A^T) = det(A) 与乘法法则。