第一卷未解释的部分
你已经会算行列式了：沿某一行展开，或化为三角形后把主元相乘。但为什么交换两列会改变符号？为什么乘积的 det 等于 det 的乘积？第一卷给了法则，却没说它们从何而来。诚实的答案是：所有这些法则都源自三条简单性质——而任何具备这三条性质的函数都必然等于行列式。
视角的转变虽小却决定一切。别再把矩阵 A 当成数字方格，而要把它看作其列向量的一个列表：A = [c_1, c_2, ..., c_n]。于是 det 成为 R^n 中 n 个向量的函数 det(c_1, ..., c_n)，返回一个标量。
对函数的三个要求
三条性质如下。（1）多重线性：固定其余列，det 关于每一列分别是线性的。（2）交替性：若有两列相等，则 det = 0。（3）归一化：det(I) = 1，即标准基向量的 det 为 1。这就是全部定义。记住这三行，本系列其余部分都在展开它们。
对多个向量自变量各自线性的函数称为多重线性映射；在自变量重复时取零的称为交替多重线性形式。所以口号是：行列式是列上的交替多重线性形式，归一化使单位阵取 1。
Multilinearity, column j scaled and added: det(.., a*u + b*v, ..) = a*det(.., u, ..) + b*det(.., v, ..) Alternating, two equal columns: det(.., w, .., w, ..) = 0 Normalization: det(e_1, e_2, ..., e_n) = det(I) = 1 Quick check in 2x2 with [a c; b d] = [col1 col2]: det([a,b], [c,d]) and the three rules will force det = a*d - b*c (shown in Guide 2).
为何是这三条？几何预览
这些法则并非随意——它们正是有向体积的法则。把平行六面体的一条棱拉伸 a 倍，体积也乘以 a（线性性）。有两条相同棱的盒子是扁的，体积为零（交替性）。单位立方体体积为 1（归一化）。我们将在第 3 篇把这一点充分展开为作为有向体积的行列式。
有一个直接推论值得现在就看。若各列线性相关，则 det = 0。理由：相关的那一列是其余列的线性组合；用多重线性展开成若干 det 之和，每项都含重复列，由交替法则全为零。所以 det 能检测线性无关性——扁盒子没有体积。