线性动力系统与矩阵指数

两种时钟：离散步进与连续流动

线性动力系统有两种风味。离散时间：x_{t+1} = A x_t，于是 x_t = A^t x_0——正是第 2 篇的马尔可夫链迭代，只是去掉了概率约束。连续时间：dx/dt = A x，其解为 x(t) = e^{At} x_0，用到了矩阵指数。两者都由 A 的特征值主宰。

对角化把系统解耦

若 A = Q Lambda Q^{-1} 是可对角化的，就用 y = Q^{-1} x 换到特征基坐标。耦合系统变成 n 个独立的标量方程：dy_i/dt = lambda_i y_i，每个的解是 y_i(t) = e^{lambda_i t} y_i(0)。于是矩阵指数变得平凡：e^{At} = Q diag(e^{lambda_1 t}, ..., e^{lambda_n t}) Q^{-1}。

# Coupled springs / two tanks: dx/dt = A x with
#   A = [ -2 ,  1 ;
#          1 , -2 ]
# eigenvalues:  lambda_1 = -1 ,  lambda_2 = -3   (both negative)
# eigenvectors: q1 = (1, 1)/sqrt2 ,  q2 = (1,-1)/sqrt2
# general solution:
#   x(t) = c1 e^{-1 t} q1  +  c2 e^{-3 t} q2
# both modes decay -> x(t) -> 0 .  The system is STABLE.

每个特征值都是一个独立的衰减（或增长）模式。

仅凭特征值就能判定稳定性

既然每个模式都形如 e^{lambda_i t}（连续）或 lambda_i^t（离散），稳定性就直接从谱上读出。复特征值 alpha +/- i*beta 带来频率为 beta 的振荡、包络为 e^{alpha t}；决定增长还是衰减的是实部。

连续型 dx/dt = A x：稳定当且仅当每个特征值的实部 < 0（左半平面）。
离散型 x_{t+1} = A x_t：稳定当且仅当每个特征值满足 |lambda| < 1（在单位圆内）。
临界情形恰好落在边界上；只要有一个特征值越过边界，系统就会发散。