行列式：面积、体积与可逆性

面积被放大的倍数

取由 (1,0) 与 (0,1) 张成的单位正方形。经过一次 变换 后，它变成一个平行四边形。行列式 就是它面积变化的倍数。了不起的是，平面上*每一块*区域的面积都被同一个数缩放，所以这一个数值就描述了整个映射。

det [[a,b],[c,d]] = a*d - b*c

det [[2,0],[0,3]] = 6   area x6
det [[1,0],[0,1]] = 1   identity, area unchanged

正负号意味着什么

行列式可以是负的。它的大小仍然告诉你面积倍数，但它的符号告诉你定向：正的行列式保持空间的布局，负的则把它翻面，就像翻一页纸让左右互换。

det [[1,0],[0,-1]] = -1
reflection across the x-axis:
area is unchanged (size 1) but space is flipped (sign -)

零意味着压垮意味着没有逆

最重要的情形是 det = 0。这意味着变换把空间压扁到了更低的维度——把一个平面压成一条线，或把一条线压成一个点——于是面积变成了零。一旦如此，不同的输入被挤到同一个输出上，就再也没有办法还原回去。

1. 计算 det [[1,2],[2,4]] = 1*4 - 2*2 = 0——行列式消失了。
2. 看各列 (1,2) 与 (2,4)：第二列恰好是第一列的两倍，所以它们指向同一个方向。
3. 整个平面被压扁到一条线上；面积为零，所以不存在 逆矩阵。