线性无关：没有多余的向量

什么时候一个向量是多余的？

如果一个向量是其他向量的 线性组合——你已经能用手头向量的缩放与相加凑出它——那它就是多余的。看 (1,0)、(0,1) 和 (2,3)。第三个是多余的，因为 (2,3) = 2*(1,0) + 3*(0,1)。它没带来新方向，只是重复前两个已经 张成 的东西。

当一组向量里没有一个是多余的——每个向量都指向其他向量到不了的地方——这组就是 线性无关 的。只要有一个是多余的，这组就是相关（线性相关）的。

只有零的测试

一个一个检查太慢。标准测试是这样：向量 v1, ..., vk 无关，当且仅当让 c1*v1 + ... + ck*vk = 0 的唯一办法是每个系数 c 都取 0。如果存在不全为零的系数也能凑出零，你就能把某个向量用其余向量解出来——它就是多余的。

1. 把组合 c1*v1 + ... + ck*vk = 0 写成方程组 A*c = 0，把这些向量作为 A 的各列。
2. 用消元法求解。
3. 若 c = 0 是唯一解，则该组无关；若还有别的解，则相关。

一个小小的算例

v1 = (1, 2)   v2 = (2, 4)
c1*v1 + c2*v2 = 0
  c1 +  2 c2 = 0
2 c1 +  4 c2 = 0
-> row 2 is just 2 * row 1
-> c1 = -2 c2 works for ANY c2
-> e.g. c1 = -2, c2 = 1 gives 0
=> DEPENDENT (v2 = 2 * v1)