四个基本子空间

一个矩阵生出四个空间

一个 m 行 n 列的矩阵 A 交给你四个子空间。两个住在输入侧（在 R^n 里）：行空间（各行的张成）和零空间（被 A 送到零的一切）。两个住在输出侧（在 R^m 里）：列空间（各列的张成，输出真正落在那里）和左零空间（转置 A^T 的零空间）。

秩-零化度把它们绑在一起

四个大小都来自一个数，秩 r。列空间与行空间维数都是 r——这正是「行秩等于列秩」换了顶帽子。输入侧，秩-零化度给出零化度 = n - r。输出侧，左零空间维数是 m - r。知道 r、m、n，你就知道全部四个。

A is m x n with rank r:
  row space      dim = r       (in R^n)
  null space     dim = n - r   (in R^n)
  column space   dim = r       (in R^m)
  left null space dim = m - r  (in R^m)

example: 3 x 4, r = 2
  row=2, null=2 (sum 4 = n)
  col=2, left null=1 (sum 3 = m)

全部四个维数，仅凭 r、m、n 就能读出。

预告：直角

这四个空间不是随机摆放的。在输入侧，行空间与零空间以完美的直角相遇——它们是正交补。A 的每一行都垂直于 A*x = 0 的每个解，这不过是把 A*x = 0 逐行重述：每一行与 x 的点积都是零。它们一起填满整个 R^n，毫无剩余。