正交性与标准正交基

垂直 = 点积为零

正交 是「垂直」的成熟说法，而它的判据是整个线性代数里最干净的一个：两个向量正交，当且仅当它们的点积为零。不用量角度，不用画图——只需做一次算术检验。

(2,1) dot (-1,2) = 2*(-1) + 1*2 = -2 + 2 = 0
--> these two vectors are orthogonal

为什么直角携带独立信息

当各个方向互相正交时，谁都不会渗进别人那里。沿东西轴移动，你的南北坐标纹丝不动。这正是地图采用垂直坐标轴的原因：每条轴报告的，是另一条轴无法报告的东西。倾斜的、不垂直的坐标轴当然也能用，但其中一条上的读数会污染另一条。

标准正交这一黄金标准

取一组正交方向，再把每个缩放到长度 1。现在它们不仅互相垂直，而且都是单位长度，我们把这一组叫做标准正交基——「正交」对应直角，「标准」对应单位长度。这是人人都梦寐以求的基，因为求坐标变得不费吹灰之力：一个坐标就是一次点积。

e1 = (1,0)   e2 = (0,1)
e1 dot e2 = 0   (orthogonal)
norm(e1) = 1, norm(e2) = 1   (unit length)
--> e1, e2 form an orthonormal basis

把一组标准正交基作为列堆成一个矩阵，你就得到一个正交矩阵 Q。这样的矩阵是完美的刚体运动：它旋转或反射空间，却不拉伸也不压缩任何东西，因此长度和角度都被保持。它的逆就是它的转置——Q^T Q = I——这让它用起来格外省心。