点积：长度与角度

公式，以及它的直觉

到目前为止，向量一直是可以相加和缩放的箭头。点积 是第一个能比较两个箭头、并返回一个数字告诉你它们有多指向同一方向的工具。配方很简单：对应坐标相乘，再全部加起来。

u = (3,4)   v = (1,2)
u dot v = 3*1 + 4*2 = 3 + 8 = 11

点积是一个更一般想法的日常版本——内积，也就是任何把两个向量相乘成一个数的合理方式。对平面或空间里的普通箭头来说，「内积」和「点积」是同一回事。

读懂符号

最有用的一个习惯，是在看点积的大小之前先看它的符号。结果为正，表示两个向量朝同一边倾斜；结果为负，表示它们指向相反；而结果恰好为零，则表示它们成直角。

(1,0) dot (1,0) =  1   same direction  (+)
(1,0) dot (0,1) =  0   right angle     (0)
(1,0) dot (-1,0)= -1   opposite        (-)

长度与角度由此得出

把一个向量和它自己做点积，会发生一件好事：交叉项消失，剩下的就是各坐标的平方和。这个和的平方根，就是向量的长度，也就是它的范数。这不过是披上新外衣的勾股定理。

v = (3,4)
v dot v = 3*3 + 4*4 = 9 + 16 = 25
norm(v) = sqrt(25) = 5

长度和符号合起来，就是完整的几何定律：u dot v = norm(u) * norm(v) * cos(theta)，其中 theta 是它们之间的夹角。把它反过来解，你就能仅凭坐标还原出夹角——根本不需要量角器。

1. 计算 u dot v（对应坐标相乘后相加）。
2. 用「与自身点积」的技巧算出 norm(u) 和 norm(v)。
3. 于是 cos(theta) = (u dot v) / (norm(u) * norm(v))；取反余弦即得 theta。