矩阵与向量的乘法

矩阵乘向量：混合各列

下面这幅图能让一切豁然开朗。要算 A 乘 向量 x，就把 x 里的数字当作权重，用每个权重去乘 A 的对应列，再把结果加起来。输出就是 A 各列的一个混合。

[[2,0],[0,3]] * (1,1)
  = 1*(2,0) + 1*(0,3)
  = (2,0) + (0,3)
  = (2,3)

矩阵乘矩阵 = 先做一个，再做另一个

矩阵乘矩阵 不过是把这个想法重复一遍。把两个矩阵都读成机器，乘积 A*B 的意思是：先让向量穿过 B，再穿过 A。这种串联叫做 复合。所以 A*B 作用在 x 上，等于 A 作用在（B 作用在 x 上的结果）上。

1. 从右往左读 A*B：B 先发生，A 后发生。
2. 乘积的第 j 列，就是 A 作用在 B 的第 j 列上的结果。
3. 把这些输出列并肩排好——那就是乘积矩阵。

形状必须对得上，而且顺序很重要

只有当 A 的列数等于 B 的行数时，才能算 A*B：（m 乘 n）乘（n 乘 p）得到（m 乘 p）。中间那两个数字必须相等，然后被「约掉」。如果它们不相等，乘积根本就不存在。

A=[[0,-1],[1,0]] (rotate)   B=[[2,0],[0,1]] (stretch)
A*B = [[0,-1],[2, 0]]
B*A = [[0,-2],[1, 0]]   <- different!

什么都不做的矩阵

单位矩阵 I 在对角线上全是 1，其余全是 0。乘上它，向量或矩阵都原封不动：I*x = x，A*I = A。它就是矩阵世界里的1——那台什么都不做的机器。

[[1,0],[0,1]] * (5,7) = (5,7)   <- unchanged