一步步用消元法求解

三种合法的操作

高斯消元 在 增广矩阵 [A | b] 上操作，只用三种行变换。每一种都会改变方程组的样子，却绝不改变它的解——这正是它们被允许使用的全部理由。

1. 交换两行（给方程重新排序）。
2. 用一个非零数字乘某一行（缩放一个方程）。
3. 把某一行的若干倍加到另一行上（合并方程以消掉一项）。

爬上阶梯形

目标是 行阶梯形：一座阶梯，每一行的首个非零数字都比上一行的更靠右，于是左下角填满了零。一旦到达，最后一行就直接给出一个未知数。

我们拿上一篇的方程组，写出它的增广矩阵，然后清掉第一个主元（第 1 行那个领头的 2）下方的那一项。

[A|b] = [ 2  1 | 5 ]
        [ 1  3 | 6 ]

R2 -> R2 - (1/2)*R1:
        [ 2  1   | 5   ]
        [ 0  2.5 | 3.5 ]   <- staircase / row echelon form

回代收尾

现在从下往上读这座阶梯。最后一行说 2.5*y = 3.5，所以 y = 1.4。把它代回第一行 2x + y = 5，解出 x。这种自下而上的倒推叫做回代。

row 2:  2.5*y = 3.5  ->  y = 1.4
row 1:  2x + 1.4 = 5  ->  2x = 3.6  ->  x = 1.8

check:  1*1.8 + 3*1.4 = 1.8 + 4.2 = 6  (matches b)