向量栖身的场所
向量空间 就是你所处理的全部向量构成的游乐场，再配上你已经熟悉的那两招。让它成为*空间*的唯一规则：它必须对相加与缩放封闭。把里面任意几个向量组合起来，结果仍在里面——你绝不会一不小心掉出去。
子空间：空间里的房间
子空间 是坐落在更大空间里的一个更小的向量空间——就像房间里的一张平面薄片。关键在于：它必须经过原点，因为把任何向量乘以 0 都会落到 (0, 0)，而一个封闭的空间必须包含这个点。经过原点的直线或平面是子空间；错过原点的则不是。
line through origin: all multiples of (2, 1) -> subspace line NOT through origin: points (2t, 1t + 5) -> NOT a subspace
你其实早已见过子空间，只是没叫出名字：任何一组向量经过原点的 张成 永远是一个子空间。所以“张成”与“子空间”是同一块平直、规矩形状的两种看法。
不是箭头的向量
下面这个惊喜，正是这门学科威力之所在：凡是你能合理地相加与缩放的东西，都是向量。多项式合格——把 2x + 1 与 3x + 4 相加得到 5x + 5，乘以 2 得到 4x + 2。声波和函数也合格。箭头从来都只是一幅有用的图像罢了。
向维度温和地点头
一个空间有多大？维度 数的是：你真正需要多少个独立方向，才能到达其中的一切。一条线是一维，一张平面是二维，你周围的房间是三维。我们稍后会把它讲精确——眼下，只把它当作“你究竟有多少个真正的选择”来听就好。
*独立*这个词，正指向你上一篇见过的冗余。剥去每一个冗余方向，数一数剩下的，你就得到维度。它正是通往这条阶梯下一级的完美桥梁。