單粒子配分函數
考慮一個質量 m、置於體積 V 盒中的原子，只有動能 E=p^2/2m。它的配分函數是對微觀態求和——但古典上狀態連續，於是和變成對 相空間 的積分，並除以 h^3 以普朗克大小的格子計數（三個位置、三個動量維度）：
單粒子配分函數。位置積分給出 V；每個高斯動量積分給出 \sqrt{2\pi m k_BT}/h。結果定義了熱德布羅意波長 \lambda_{\text{th}}=h/\sqrt{2\pi m k_BT}。
組合 \lambda_{\text{th}}=h/\sqrt{2\pi m k_BT} 是熱粒子的量子「大小」。因此 z_1=V/\lambda_{\text{th}}^3 大致在數：盒中能塞下多少個量子波包。當 V/\lambda_{\text{th}}^3\gg N，氣體稀薄且古典；當它逼近 N，量子統計就接手——這正是統計力學二的入口。
組裝 N 個粒子——以及一個 N! 因子
對 N 個彼此不作用的粒子，能量是求和，於是波茲曼因子可分解，得 Z_N = z_1^{\,N}——天真地看。但這高估了：交換兩個相同原子給出的是同一個物理微觀態，而非新的。為免把每種排列數了 $N!$ 次，我們除以 $N!$：
理想氣體 的 N 粒子配分函數。$1/N!$——吉布斯對不可分辨性的修正——不可或缺；沒有它，熵會算錯。
現在實際操作。由 F=-k_BT\ln Z_N 與 P=-(\partial F/\partial V)_T，只有 V^N 那一項依賴體積，給出 F\supset -Nk_BT\ln V，因此 P = Nk_BT/V。我們僅憑計數波茲曼因子，就推導出理想氣體定律 PV=Nk_BT——其中玻爾茲曼常數 k_B=R/N_A 把它與氣體常數相連。
能量均分
該氣體的平均能量由 \langle E\rangle=-\partial\ln Z/\partial\beta 得出。因 z_1\propto\beta^{-3/2}，每個粒子帶 \langle E\rangle = \tfrac{3}{2}k_BT——恰好每個平移方向 \tfrac12 k_BT。這是能量均分定理的一個特例：
能量均分：能量中每個平方型自由度（每個 \propto p^2 或 \propto q^2 的項）對平均能量貢獻 \tfrac12 k_BT。單原子氣體 f=3；雙原子氣體再加上轉動，並在高溫時加上振動。
吉布斯佯謬
回到那個 $1/N!。若省略它，理想氣體的熵會算出*非外延*的結果：把兩份相同氣體之間的隔板抽掉來混合，公式竟預測熵有一個跳躍，彷彿發生了某種不可逆過程——儘管什麼也沒發生。這就是著名的**[[gibbs-paradox|吉布斯佯謬]]**。加入 1/N!——承認原子本質上[[identical-particles|不可分辨]]——恰好治癒它，熵也就正確地正比於 N$。
單原子理想氣體熵的沙克爾–特特羅德方程式。注意對數內的 V/N——這是 $1/N!$ 修正的標記——它使 S 正確地外延（N 與 V 一同加倍，S 也加倍）。
這個解答是純熱力學給出量子力學的驚人早期暗示：相同粒子不只是難以分辨，它們根本沒有個別身分。在一個號稱古典的熵中竟出現 \lambda_{\text{th}} 裡的 h，是第二個這樣的暗示——大自然一直悄悄是量子的。
打開盒子：巨正則系綜
常常粒子也能進出——金屬交換電子、氣體與貯庫接觸、表面吸附。改為固定 T 與化學勢 \mu（而非 N），你就得到巨正則系綜。每個微觀態現在同時依其能量與粒子數加權，而狀態和變成巨配分函數 \mathcal{Z}：
巨配分函數與巨勢 \Phi。逸度 z=e^{\beta\mu} 控制平均粒子數；對 \Phi 微分即得 \langle N\rangle 與壓力。