張量、場,以及通往廣義相對論之路

從向量到張量

四維向量帶一個指標,以一個 \Lambda 因子變換。一個二階張量 T^{\mu\nu} 帶兩個指標,以兩個因子變換——它之於四維向量,猶如矩陣之於一個行向量。張量是書寫最深刻物理定律所用的語言,正因為張量方程式一旦在某參考系成立,便在所有參考系成立。其中兩個張量補全了相對論的圖像。

T'^{\mu\nu} = \Lambda^{\mu}{}_{\alpha}\,\Lambda^{\nu}{}_{\beta}\,T^{\alpha\beta}

二階張量的變換法則:每個指標各配一個勞侖茲矩陣。純量有零個指標(不變),四維向量一個,依此類推。

電磁學:化為顯然的相對論形式

第一冊的電場與磁場看似兩種不同的東西,但它們在推進下相互混合——某參考系中的電場,在另一個裡有一部分是磁場。相對論解釋了原因:它們是單一反對稱張量的六個分量,即電磁場張量 F^{\mu\nu},由四維勢 A^\mu=(\phi/c,\vec A) 構造而成。

F^{\mu\nu} = \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu}, \qquad \partial_{\mu}F^{\mu\nu} = \mu_0\,J^{\nu}

場張量,以及右式協變形式的馬克士威方程,其中四維電流為 J^\nu=(c\rho,\vec J)。第一冊的四條向量方程式,在此塌縮成這一行張量式。

應力-能量張量

四維動量描述的是一個粒子,而應力-能量張量 T^{\mu\nu} 描述的是能量與動量的連續體——流體、場,或整個宇宙。它的十個獨立分量是各種局域密度與流量: T^{00} 是能量密度, T^{0i} 是能量通量(也是動量密度), T^{ij} 是 i 方向動量沿 j 方向的通量——對角線上是壓力,對角線外是剪應力。

\partial_{\mu} T^{\mu\nu} = 0

能量與動量的局域守恆:應力-能量張量的四維散度為零。這一條張量方程式同時包含連續方程式與動量流(尤拉/柯西)方程式。

在最簡單的情形——靜止質量密度為 \rho_0、以四維速度 U^\mu 運動的無壓「塵埃」——張量就是 T^{\mu\nu}=\rho_0\,U^\mu U^\nu。加上各向同性壓力 p 便得到理想流體,天文物理與宇宙學的主力工具。而這個物件正是通往重力的橋樑。

一道真實問題:反質子產生閾值

一個系統的不變量 s=(\textstyle\sum P)\cdot(\sum P) ——其總四維動量的平方——是相對論碰撞分析中最強大的單一工具,因為你可以在任何最省事的參考系中求它的值,再把結果相等。以下是發現反質子的經典案例。

問題。一個質子(靜止質量 m,故靜能 mc^2\approx 938 MeV)撞上一個靜止質子。要透過 p+p\to p+p+p+\bar p 產生一對額外的質子-反質子,入射能量至少要多少?(重子數守恆迫使你保留原本兩個質子並加上一對 p\bar p ——出射四個粒子。)

在實驗室系計算 s。入射 P_1=(E/c,\vec p_1),靶 P_2=(mc,\vec 0)。則 s=P_1\cdot P_1+2P_1\cdot P_2+P_2\cdot P_2 = m^2c^2 + 2Em + m^2c^2 = 2m^2c^2+2Em。
在質心系計算閾值時的 s。在閾值處,四個終態質子在質心系中一起靜止,故系統的總不變質量為 $4m$,且 s=(4m)^2c^2=16m^2c^2。(任何殘餘運動都會浪費能量。)
把兩者相等(不變性!)。 2m^2c^2+2Em = 16m^2c^2 \Rightarrow 2Em = 14m^2c^2 \Rightarrow E = 7mc^2。
詮釋。閾值總能量 E=7mc^2,故動能 =E-mc^2=6mc^2\approx 5.6 GeV。注意:為了製造 2mc^2 的新質量,竟要耗費 6mc^2 的動能——其餘是動量守恆強加於你的。這訂下了 Bevatron 加速器的設計能量,它於1955年發現了反質子。

這一切通往何方

你現在握有一般物理學家的相對論工具箱:間隔、作為旋轉的推進、四維向量、四維動量與張量。接下來有兩扇門敞開。一扇通往量子場論,場依其勞侖茲變換(純量、旋量、向量)分類,四維動量成為產生時間平移的算符。另一扇通往廣義相對論:把平坦的閔可夫斯基度規 \eta_{\mu\nu} 提升為一個會彎曲的動態場 g_{\mu\nu},讓應力-能量張量成為它的源,重力便作為時空的幾何浮現出來——愛因斯坦方程式 G_{\mu\nu}=\tfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}。你在指南1遇見的那個負號,正是這整趟旅程的第一步。