建立四維動量
在牛頓物理中,動量是質量乘速度。相對論的升級是被迫的:把四維速度乘上粒子的靜止質量 m(一個不變純量),你得到一個貨真價實的四維向量——四維動量 P^\mu=mU^\mu。寫出它的分量,會在時間欄位揭示某個非凡的東西。
四維動量。空間部分是相對論動量 \vec p=\gamma m\vec v;時間部分乘上 c 就是相對論能量 E=\gamma mc^2。
把能量當作動量的時間分量來讀,正是深層的統一:在相對論中,能量與動量是單一物件的時間與空間部分,恰如 t 與 \vec x 是 x^\mu 的部分。這就是為何能量守恆與動量守恆不是兩條定律,而是一條——單一四維向量的守恆。
能量-動量關係
現在取四維動量的不變長度。因為 P=mU 且 U\cdot U=c^2,我們立刻得到 P\cdot P=m^2c^2 ——但從分量算出它,才顯出物理:
四維動量的不變大小在每個參考系都等於 (mc)^2。整理後即得能量-動量關係。
相對論動力學的主方程式——一個直角三角形,兩股為 pc 與 mc^2,斜邊為 E。
三角形的兩個角落住著兩個極限。令 p=0:粒子靜止, E=mc^2,即靜能——質能等價,也就是「質量就是一種能量」這一論斷。令 m=0:像光子這樣的無質量粒子有 E=pc,並且必須恰以 c 運動。而對於慢速有質量粒子,展開 \gamma 便復原牛頓,外加一個常數偏移:
低速展開。靜能 mc^2 是牛頓從未見過的常數;第二項就是熟悉的動能 \tfrac12 mv^2。
守恆律與一道碰撞例題
相對論動力學的定律很鮮明:在任何交互作用中,總四維動量守恆, \sum P^\mu_{\text{in}}=\sum P^\mu_{\text{out}}。它的時間分量是能量守恆;空間分量是動量守恆。因為 m^2c^2=P\cdot P,一個粒子系統的不變質量一般不是個別質量之和——動能對它有貢獻。讓我們極直接地看看這一點。
例題。兩塊相同的黏土,各具靜止質量 m,在實驗室中沿正對方向相向飛來,各以速率 v(勞侖茲因子 \gamma)運動,碰撞後黏合。求它們形成的單一黏土塊的靜止質量 M。
- 寫下四維動量。黏土A: P_A=(\gamma mc,\ +\gamma m v)。反向運動的黏土B: P_B=(\gamma mc,\ -\gamma m v)。由於總動量為零,此實驗室系即質心系。
- 把它們相加(守恆)。 P_{\text{tot}}=P_A+P_B=(2\gamma mc,\ 0)。空間動量相消;能量相加。
- 終態黏土塊靜止(總動量為零),故 P_{\text{final}}=(Mc,\ 0)。比對時間分量: Mc=2\gamma mc。
- 求解。 M=2\gamma m > 2m。合成塊比原本兩塊更重,多出 2(\gamma-1)m——正是被轉化為靜止質量的那份動能, \Delta M\,c^2 = 2(\gamma-1)mc^2 = 損失的總動能。