四維向量:能正確變換的物件

什麼樣的東西才算四維向量

一個事件的座標 x^\mu=(ct,x,y,z)(其中 \mu=0,1,2,3)在推進下依一條確定的矩陣規則變換。一個四維向量就是任何一組依照那同一條規則變換的四個數。這並非瑣碎的定義:它是一項嚴格的入會測試。若某個量像 x^\mu 那樣變換,它就是四維向量,並繼承全部幾何;若不然,它只是四個湊在一起旅行的數,任何定理都不適用。

x'^{\mu} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu}\, x^{\nu}

變換法則,採用愛因斯坦求和約定:重複的指標(此處 \nu)對 $0,1,2,3$ 求和。 \Lambda^{\mu}{}_{\nu} 是勞侖茲(推進/旋轉)矩陣。

這相對於第一冊的一般向量是一次嚴格的升級。像速度這樣的三維向量有三個分量,在空間旋轉下旋轉。四維向量有四個分量,在完整勞侖茲群下變換——包含推進在內。要內化的模式是:好的相對論物理寫成四維向量(與張量)之間的方程式,因為這樣的方程式一旦在某個參考系成立,就自動在所有參考系成立。

上標與下標,以及不變的內積

四維向量的分量帶有上標 A^\mu(稱為逆變)。度規張量 \eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1) ——即閔可夫斯基度規——讓你把指標降下,得到協變分量 A_\mu。降指標只是把空間部分的符號翻轉。

A_{\mu} = \eta_{\mu\nu} A^{\nu} = (A^0,\,-A^1,\,-A^2,\,-A^3)

用度規降指標。升指標用逆度規 \eta^{\mu\nu},在此其數值相同。

回報就是不變內積。把一個上標與一個下標縮並,結果是一個純量——在每個參考系都是同一個數:

A\cdot B \equiv \eta_{\mu\nu}A^{\mu}B^{\nu} = A^{\mu}B_{\mu} = A^0 B^0 - \vec A\cdot\vec B

閔可夫斯基內積。令 B=A 得到平方「長度」 A\cdot A=(A^0)^2-|\vec A|^2,一個勞侖茲不變量。指南1的間隔 s^2 就是 x\cdot x。

四維速度與原時

要用粒子的運動造出四維向量,我們得對它的位置微分——但是對什麼微分?座標時間 t 依賴參考系,所以 dx^\mu/dt 不是四維向量。解法是使用眾人都同意的那一只鐘:粒子自己的鐘,走的是原時 \tau,由沿世界線的間隔定義。

c^2\,d\tau^2 = ds^2 \;\Longrightarrow\; d\tau = \frac{dt}{\gamma} = dt\sqrt{1-v^2/c^2}

原時是間隔除以 c;它是隨世界線攜帶的鐘所走過的時間,並且是一個勞侖茲純量。

因為 \tau 是純量而 x^\mu 是四維向量,導數 U^\mu=dx^\mu/d\tau 就自動是四維向量——即四維速度。用 d\tau=dt/\gamma 算出:

U^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d\tau} = \gamma\,(c,\ \vec v), \qquad U\cdot U = \gamma^2(c^2 - v^2) = c^2

四維速度。它的不變大小永遠是 c ——每個粒子都以光速穿越時空,只是把這運動分配在時間與空間之間。